题目
某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：cm）：87 87 88 92 95 97 98 99 103 104设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ．（1）求μ与σ．（2）假设这批零件的内径Z（单位：cm）服从正态分布N（μ，σ2）（ⅰ）从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径大于107cm的个数为X求D（2X+1）；（ⅱ）若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108（单位：cm），以原设备生产性能为标准试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由．参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.954，P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.997，取0.9974=0.99．
某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：cm）：
87 87 88 92 95 97 98 99 103 104
设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ．
（1）求μ与σ．
（2）假设这批零件的内径Z（单位：cm）服从正态分布N（μ，σ2）
（ⅰ）从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径大于107cm的个数为X求D（2X+1）；
（ⅱ）若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108（单位：cm），以原设备生产性能为标准试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由．
参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.954，P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.997，取0.9974=0.99．
87 87 88 92 95 97 98 99 103 104
设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ．
（1）求μ与σ．
（2）假设这批零件的内径Z（单位：cm）服从正态分布N（μ，σ2）
（ⅰ）从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径大于107cm的个数为X求D（2X+1）；
（ⅱ）若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108（单位：cm），以原设备生产性能为标准试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由．
参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.954，P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.997，取0.9974=0.99．
题目解答
答案
解：（1）利用题中数据，
μ=$\frac{1}{10}$（87+87+88+92+95+97+98+99+103+104）=95，
σ2=$\frac{1}{10}$（64+64+49+9+0+4+9+16+64+81）=36，则σ=6，
（2）（i）∵Z服从正态分布N（95，36），
∴P（Z＞107）=P（Z＞μ+2σ）=0.5-$\frac{0.954}{2}$=0.023，
则X～B（5，0.023），∴D（X）=5×0.023×（1-0.023）=0.112355，
∴D（2X+1）=4D（X）=0.44942．
（ii）∵Z服从正态分布N（95，36），
∴P（77＜Z≤113）=P（μ-3σ＜Z≤μ+3σ）≈0.997，
∴5个零件中恰有一个内径不在（μ-3σ＜Z≤μ+3σ）的概率为${C}_{5}^{1}$0.9974×（1-0.997）=0.01485，
∵76∉（77，113），所以试生产的5个零件就出现了1个不在（μ-3σ＜Z≤μ+3σ）内，
出现的频率是0.01458的13倍多，根据3σ原则，需要进一步调试．
μ=$\frac{1}{10}$（87+87+88+92+95+97+98+99+103+104）=95，
σ2=$\frac{1}{10}$（64+64+49+9+0+4+9+16+64+81）=36，则σ=6，
（2）（i）∵Z服从正态分布N（95，36），
∴P（Z＞107）=P（Z＞μ+2σ）=0.5-$\frac{0.954}{2}$=0.023，
则X～B（5，0.023），∴D（X）=5×0.023×（1-0.023）=0.112355，
∴D（2X+1）=4D（X）=0.44942．
（ii）∵Z服从正态分布N（95，36），
∴P（77＜Z≤113）=P（μ-3σ＜Z≤μ+3σ）≈0.997，
∴5个零件中恰有一个内径不在（μ-3σ＜Z≤μ+3σ）的概率为${C}_{5}^{1}$0.9974×（1-0.997）=0.01485，
∵76∉（77，113），所以试生产的5个零件就出现了1个不在（μ-3σ＜Z≤μ+3σ）内，
出现的频率是0.01458的13倍多，根据3σ原则，需要进一步调试．
解析
步骤 1：计算平均值μ
根据题目给出的数据，计算平均值μ。平均值μ是所有数据的总和除以数据的个数。
步骤 2：计算标准差σ
根据平均值μ，计算标准差σ。标准差σ是每个数据与平均值μ之差的平方的平均值的平方根。
步骤 3：计算D（2X+1）
根据正态分布的性质，计算D（2X+1）。
步骤 4：判断是否需要进一步调试
根据新设备生产的零件内径数据，判断是否需要进一步调试。
根据题目给出的数据，计算平均值μ。平均值μ是所有数据的总和除以数据的个数。
步骤 2：计算标准差σ
根据平均值μ，计算标准差σ。标准差σ是每个数据与平均值μ之差的平方的平均值的平方根。
步骤 3：计算D（2X+1）
根据正态分布的性质，计算D（2X+1）。
步骤 4：判断是否需要进一步调试
根据新设备生产的零件内径数据，判断是否需要进一步调试。