当f(x)=0存在m重根时，为了得到平方收敛速度，相应的牛顿迭代公式为x_(k+1)=x_(k)-m(f(x_(k)))/(f'(x_(k)))，k=0,1,2,...A. 对B. 错

本题考查牛顿迭代法在函数存在重根时的改进以及收敛速度相关知识。解题思路是先回顾牛顿迭代法的基本形式和收敛性，再分析当函数存在重根时牛顿迭代法的收敛情况，最后推导为了得到平方收敛速度所需要的改进迭代公式。

1. 牛顿迭代法基本形式

牛顿迭代法的基本公式为：
$x_{k + 1} = x_k-\frac{f(x_k)}{f^\prime(x_k)},k = 0,1,2,\cdots$
设$x^*$是$f(x)=0$的根，即$f(x^*) = 0$，将$f(x_k)$在$x^*$处进行泰勒展开：
$f(x_k)=f(x^*)+f^\prime(x^*)(x_k - x^*)+\frac{f^{\prime\prime}(\xi)}{2!}(x_k - x^*)^2$
因为$f(x^*) = 0$，所以$f(x_k)=f^\prime(x^*)(x_k - x^*)+\frac{f^{\prime\prime}(\xi)}{2!}(x_k - x^*)^2$，其中$\xi$介于$x_k$和$x^*$之间。
则$x_{k + 1}-x^*=x_k - x^*-\frac{f(x_k)}{f^\prime(x_k)}=-\frac{\frac{f^{\prime\prime}(\xi)}{2!}(x_k - x^*)^2}{f^\prime(x_k)}$。
若$f^\prime(x^*)\neq0$，当$k\to\infty$时，$x_{k + 1}-x^*$与$(x_k - x^*)^2$是同阶无穷小，牛顿迭代法具有平方收敛速度。

2. 当$f(x)=0$存在$m$重根时的情况

若$x^*$是$f(x)=0$的$m$重根，则$f(x)=(x - x^*)^m g(x)$，其中$g(x^*)\neq0$。
对$f(x)$求导：
$f^\prime(x)=m(x - x^*)^{m - 1}g(x)+(x - x^*)^m g^\prime(x)=(x - x^*)^{m - 1}[mg(x)+(x - x^*)g^\prime(x)]$
此时$f^\prime(x^*) = 0$，将$f(x_k)$在$x^*$处进行泰勒展开：
$f(x_k)=(x_k - x^*)^m g(x_k)$
$f^\prime(x_k)=(x_k - x^*)^{m - 1}[mg(x_k)+(x_k - x^*)g^\prime(x_k)]$
则牛顿迭代法$x_{k + 1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^\prime(x_k)}=x_k-\frac{(x_k - x^*)^m g(x_k)}{(x_k - x^*)^{m - 1}[mg(x_k)+(x_k - x^*)g^\prime(x_k)]}=x_k-\frac{(x_k - x^*)g(x_k)}{mg(x_k)+(x_k - x^*)g^\prime(x_k)}$
当$k\to\infty$时，$x_{k + 1}-x^*$与$(x_k - x^*)$是同阶无穷小，牛顿迭代法只具有线性收敛速度。

3. 推导改进的迭代公式

为了得到平方收敛速度，我们构造改进的迭代公式。
设$h(x)=\frac{f(x)}{f^\prime(x)}$，对$h(x)$求导：
$h^\prime(x)=\frac{f^\prime(x)\cdot f^\prime(x)-f(x)\cdot f^{\prime\prime}(x)}{(f^\prime(x))^2}$
因为$f(x)=(x - x^*)^m g(x)$，$f^\prime(x)=(x - x^*)^{m - 1}[mg(x)+(x - x^*)g^\prime(x)]$，$f^{\prime\prime}(x)=(m - 1)(x - x^*)^{m - 2}[mg(x)+(x - x^*)g^\prime(x)]+(x - x^*)^{m - 1}[mg^\prime(x)+(x - x^*)g^{\prime\prime}(x)]$
当$x = x^*$时，$h(x^*) = 0$，$h^\prime(x^*)=\frac{1}{m}$。
对$h(x)$在$x^*$处进行泰勒展开：
$h(x_k)=h(x^*)+h^\prime(x^*)(x_k - x^*)+\frac{h^{\prime\prime}(\xi)}{2!}(x_k - x^*)^2= \frac{1}{m}(x_k - x^*)+\frac{h^{\prime\prime}(\xi)}{2!}(x_k - x^*)^2$
构造迭代公式$x_{k + 1}=x_k - m\frac{f(x_k)}{f^\prime(x_k)}=x_k - m h(x_k)$
则$x_{k + 1}-x^*=x_k - x^* - m h(x_k)=x_k - x^* - m\left[\frac{1}{m}(x_k - x^*)+\frac{h^{\prime\prime}(\xi)}{2!}(x_k - x^*)^2\right]=-\frac{m h^{\prime\prime}(\xi)}{2!}(x_k - x^*)^2$
当$k\to\infty$时，$x_{k + 1}-x^*$与$(x_k - x^*)^2$是同阶无穷小，该迭代公式具有平方收敛速度。