题目
九、（8 分）设随机变量 X 与 Y 的数学期望分别为 −2 和 2，方差分别为 1 和4，而相关系数为 −0.5 ，求 E(2 X−Y ), D(2 X−Y ) 。
九、（8 分）设随机变量 X 与 Y 的数学期望分别为 −2 和 2，方差分别为 1 和4，而相关系数为 −0.5 ，求 E(2 X−Y ), D(2 X−Y ) 。
题目解答
答案
解：已知 EX=−2, EY =2, DX=1, DY =4, ρXY=−0.5则 E(2 X−Y )=2 EX−EY=2×(−2)−2=−6 ……….4 分D(2 X−Y )=D(2 X )+DY −2cov(2 X ,Y ) ……….5 分=2 DX+DY −4cov( X ,Y ) ……….6 分=2 DX+DY −4√ DX √DY ρXY =12 …………..8 分
解析
步骤 1：计算 E(2X - Y)
根据期望的线性性质，我们有 E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)，其中 a 和 b 是常数。因此，E(2X - Y) = 2E(X) - E(Y)。
步骤 2：计算 D(2X - Y)
根据方差的性质，我们有 D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2abCov(X, Y)，其中 a 和 b 是常数。因此，D(2X - Y) = 4D(X) + D(Y) - 4Cov(X, Y)。由于 Cov(X, Y) = ρXY * √D(X) * √D(Y)，我们可以将 D(2X - Y) 表达为 D(2X - Y) = 4D(X) + D(Y) - 4ρXY * √D(X) * √D(Y)。
步骤 3：代入已知值
根据题目，我们有 EX = -2, EY = 2, DX = 1, DY = 4, ρXY = -0.5。代入上述公式，我们得到 E(2X - Y) = 2 * (-2) - 2 = -6，D(2X - Y) = 4 * 1 + 4 - 4 * (-0.5) * √1 * √4 = 4 + 4 + 4 = 12。
根据期望的线性性质，我们有 E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)，其中 a 和 b 是常数。因此，E(2X - Y) = 2E(X) - E(Y)。
步骤 2：计算 D(2X - Y)
根据方差的性质，我们有 D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2abCov(X, Y)，其中 a 和 b 是常数。因此，D(2X - Y) = 4D(X) + D(Y) - 4Cov(X, Y)。由于 Cov(X, Y) = ρXY * √D(X) * √D(Y)，我们可以将 D(2X - Y) 表达为 D(2X - Y) = 4D(X) + D(Y) - 4ρXY * √D(X) * √D(Y)。
步骤 3：代入已知值
根据题目，我们有 EX = -2, EY = 2, DX = 1, DY = 4, ρXY = -0.5。代入上述公式，我们得到 E(2X - Y) = 2 * (-2) - 2 = -6，D(2X - Y) = 4 * 1 + 4 - 4 * (-0.5) * √1 * √4 = 4 + 4 + 4 = 12。