点 x=0 是函数 f(x)=} (sqrt(x+1)-1)/(x), & xneq 0 0, & x=0 的 ( ) 间断点.A 第一类可去B 第二类非无穷C 无穷D 第一类跳跃

要判断点 $x=0$ 是函数 $f(x)$ 的哪一类间断点，我们需要先求出函数在该点的极限，并与函数在该点的值进行比较。

给定的函数为：
$f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$

第一步：计算函数在 $x \to 0$ 时的极限
我们需要计算 $\lim_{x \to 0} f(x)$。当 $x \neq 0$ 时，$f(x) = \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}$。
这是一个 $\frac{0}{0}$ 型的极限，我们可以通过分子有理化（即分子分母同乘分子的共轭表达式）来求解：
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+1} - 1)(\sqrt{x+1} + 1)}{x(\sqrt{x+1} + 1)}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{(x+1) - 1}{x(\sqrt{x+1} + 1)}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)}$
因为 $x \to 0$ 但 $x \neq 0$，所以可以约去分子分母中的 $x$：
$= \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1}$
将 $x = 0$ 代入：
$= \frac{1}{\sqrt{0+1} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

第二步：分析间断点类型
根据计算结果，我们得到：

1. 函数在 $x=0$ 处的极限存在且有限，即 $\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{2}$。
2. 函数在 $x=0$ 处的值为 $f(0) = 0$。

因为极限存在且有限（左右极限相等），所以 $x=0$ 是第一类间断点。
又因为极限值 $\frac{1}{2}$ 不等于函数值 $0$（即 $\lim_{x \to 0} f(x) \neq f(0)$），如果补充定义 $f(0) = \frac{1}{2}$，函数在该点就会连续。因此，这是一个可去间断点。

综合以上分析，点 $x=0$ 是函数 $f(x)$ 的第一类可去间断点。

对比选项：
A 第一类可去
B 第二类非无穷
C 无穷
D 第一类跳跃

正确选项是 A。