题目
17、判断已知随机变量X服从均值、方差分别为μ、σ²的正态分布，随机变量Y服从自由度为16的X²分布，且随机变量X与Y相互独立，则随机变量函数(4(X-mu))/(sigmasqrt(Y))服从自由度为16的t分布。 (5分)A. ×B. √
17、判断
已知随机变量X服从均值、方差分别为μ、σ²的正态分布，随机变量Y服从自由度为16的X²分布，且随机变量X与Y相互独立，则随机变量函数$\frac{4(X-\mu)}{\sigma\sqrt{Y}}$服从自由度为16的t分布。 (5分)
A. ×
B. √
题目解答
答案
B. √
解析
步骤 1：定义随机变量Z
令 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，则 $Z \sim N(0,1)$。这是因为 $X$ 服从均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$ 的正态分布，而 $Z$ 是 $X$ 的标准化形式，即减去均值后除以标准差，因此 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。
步骤 2：重写随机变量函数
将原式重写为：\[ \frac{4(X-\mu)}{\sigma\sqrt{Y}} = \frac{4Z}{\sqrt{Y}} = \frac{Z}{\sqrt{Y/16}} \] 这里，我们利用了 $Z$ 的定义，将 $X-\mu$ 替换为 $\sigma Z$，并进一步将分母中的 $\sigma$ 约去。
步骤 3：应用t分布定义
根据t分布的定义，若 $Z \sim N(0,1)$，$W \sim \chi^2(n)$，则 $\frac{Z}{\sqrt{W/n}}$ 服从自由度为 $n$ 的t分布。这里 $W = Y$，$n = 16$，满足条件。因此，该随机变量函数服从自由度为16的t分布。
令 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，则 $Z \sim N(0,1)$。这是因为 $X$ 服从均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$ 的正态分布，而 $Z$ 是 $X$ 的标准化形式，即减去均值后除以标准差，因此 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。
步骤 2：重写随机变量函数
将原式重写为：\[ \frac{4(X-\mu)}{\sigma\sqrt{Y}} = \frac{4Z}{\sqrt{Y}} = \frac{Z}{\sqrt{Y/16}} \] 这里，我们利用了 $Z$ 的定义，将 $X-\mu$ 替换为 $\sigma Z$，并进一步将分母中的 $\sigma$ 约去。
步骤 3：应用t分布定义
根据t分布的定义，若 $Z \sim N(0,1)$，$W \sim \chi^2(n)$，则 $\frac{Z}{\sqrt{W/n}}$ 服从自由度为 $n$ 的t分布。这里 $W = Y$，$n = 16$，满足条件。因此，该随机变量函数服从自由度为16的t分布。