题目

(5)从正态总体X~N(μ,σ²)中抽取一容量为16的样本，S²为样本方差，则D(S^2)/(sigma^2)=______.

(5)从正态总体X~N(μ,σ²)中抽取一容量为16的样本，S²为样本方差，则D$\frac{S^{2}}{\sigma^{2}}$=______.

题目解答

答案

为了求解 $ D\left(\frac{S^2}{\sigma^2}\right) $，我们首先需要了解样本方差 $ S^2 $ 的性质。对于来自正态总体 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $ 的容量为 $ n $ 的样本，样本方差 $ S^2 $ 有以下性质： \[ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1) \] 其中 $ \chi^2(n-1) $ 是自由度为 $ n-1 $ 的卡方分布。在本题中，样本容量 $ n = 16 $，所以自由度 $ n-1 = 15 $。因此，我们有： \[ \frac{15S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(15) \] 接下来，我们需要求 $ D\left(\frac{S^2}{\sigma^2}\right) $。利用卡方分布的方差性质，我们知道 $ \chi^2(n-1) $ 的方差为 $ 2(n-1) $。所以，对于 $ \chi^2(15) $，其方差为 $ 2 \times 15 = 30 $。即： \[ D\left(\frac{15S^2}{\sigma^2}\right) = 30 \] 现在，我们利用方差的性质 $ D(aX) = a^2D(X) $，其中 $ a $ 是常数， $ X $ 是随机变量。在本题中， $ a = \frac{1}{15} $ 和 $ X = \frac{15S^2}{\sigma^2} $。因此，我们有： \[ D\left(\frac{S^2}{\sigma^2}\right) = D\left(\frac{1}{15} \cdot \frac{15S^2}{\sigma^2}\right) = \left(\frac{1}{15}\right)^2 \cdot D\left(\frac{15S^2}{\sigma^2}\right) = \frac{1}{225} \cdot 30 = \frac{30}{225} = \frac{2}{15} \] Thus, the answer is: \[ \boxed{\frac{2}{15}} \]

解析

考查要点：本题主要考查正态总体下样本方差的分布性质，以及卡方分布的方差计算。

解题核心思路：

  1. 利用样本方差与卡方分布的关系：对于正态总体，样本方差$S^2$满足$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。
  2. 卡方分布的方差性质：若$X \sim \chi^2(k)$，则$D(X) = 2k$。
  3. 方差的线性性质：通过变量变换，将$\frac{S^2}{\sigma^2}$与卡方分布的方差联系起来。

破题关键点：

  • 正确写出卡方分布的形式，并确定自由度。
  • 通过方差的缩放性质，将卡方分布的方差转换为所求统计量的方差。

步骤1：建立样本方差与卡方分布的关系

对于正态总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，容量为$n=16$的样本，样本方差$S^2$满足：
$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
其中自由度为$n-1=15$，即：
$\frac{15S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(15)$

步骤2：计算卡方分布的方差

根据卡方分布的性质，$\chi^2(k)$的方差为$2k$。因此：
$D\left(\frac{15S^2}{\sigma^2}\right) = 2 \times 15 = 30$

步骤3：转换为所求统计量的方差

将$\frac{S^2}{\sigma^2}$表示为$\frac{1}{15} \cdot \frac{15S^2}{\sigma^2}$，利用方差的线性性质：
$D\left(\frac{S^2}{\sigma^2}\right) = D\left(\frac{1}{15} \cdot \frac{15S^2}{\sigma^2}\right) = \left(\frac{1}{15}\right)^2 \cdot D\left(\frac{15S^2}{\sigma^2}\right) = \frac{1}{225} \cdot 30 = \frac{2}{15}$