10.设函数z=z(x,y)具有二阶连续偏导数，(partial^2z)/(partial x^2)=(partial^2z)/(partial y^2)，且满足z(x,3x)=x²，z'_(x,3x)=x³，则z''_(12)(x,3x)=（）A. (5)/(4)x^2-(1)/(12)B. (5)/(4)x^2+(1)/(12)C. (4)/(5)x^2-(1)/(12)D. (4)/(5)x^2+(1)/(12)

考查要点：本题主要考查多元函数的复合函数求导法则、二阶偏导数的计算，以及利用已知条件联立方程求解特定点处偏导数的能力。

解题核心思路：

1. 链式法则应用：对已知条件$z(x,3x)=x^2$和$z'_x(x,3x)=x^3$分别求导，建立关于二阶偏导数的方程。
2. 联立方程：利用题目中给出的$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$（即$z_{11}'' = z_{22}''$），将两个方程联立，解出$z_{12}''(x,3x)$。

破题关键点：

• 两次求导：第一次对$z(x,3x)=x^2$求导得到一阶偏导数关系，第二次对$z'_x(x,3x)=x^3$和$z'_y(x,3x)$分别求导得到二阶偏导数方程。
• 方程联立：通过拉普拉斯方程将$z_{22}''$替换为$z_{11}''$，最终解出$z_{12}''$。

第一步：对$z(x,3x)=x^2$求导

对$z(x,3x)=x^2$关于$x$求导，应用链式法则：
$z'_x(x,3x) \cdot 1 + z'_y(x,3x) \cdot 3 = 2x.$
代入已知条件$z'_x(x,3x)=x^3$，得：
$x^3 + 3z'_y(x,3x) = 2x \quad \Rightarrow \quad z'_y(x,3x) = \frac{2x - x^3}{3}.$

第二步：对$z'_x(x,3x)=x^3$再次求导

对$z'_x(x,3x)=x^3$关于$x$求导，应用链式法则：
$z''_{11}(x,3x) \cdot 1 + z''_{12}(x,3x) \cdot 3 = 3x^2.$
即：
$z''_{11} + 3z''_{12} = 3x^2. \tag{1}$

第三步：对$z'_y(x,3x)=\frac{2x - x^3}{3}$求导

对$z'_y(x,3x)=\frac{2x - x^3}{3}$关于$x$求导，应用链式法则：
$z''_{12}(x,3x) \cdot 1 + z''_{22}(x,3x) \cdot 3 = \frac{2 - 3x^2}{3}.$
根据题目条件$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$，即$z''_{11} = z''_{22}$，代入得：
$z''_{12} + 3z''_{11} = \frac{2 - 3x^2}{3}. \tag{2}$

第四步：联立方程求解

联立方程(1)和(2)：
$\begin{cases}z''_{11} + 3z''_{12} = 3x^2, \\3z''_{11} + z''_{12} = \frac{2 - 3x^2}{3}.\end{cases}$
将方程(1)乘以3，减去方程(2)：
$8z''_{12} = 10x^2 - \frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad z''_{12} = \frac{5}{4}x^2 - \frac{1}{12}.$