6.[单选题]-|||-设总体X的数学期望为μ,方差为σ^2,其中 mu neq 0 ,sigma gt 0 X1,X2,X3为来自总体X的-|||-样本,则下列统计量中, () 为μ的无偏估计,且方差最小.-|||-A .dfrac (1)(2)(X)_(1)+dfrac (1)(3)(X)_(2)+dfrac (1)(6)(X)_(3)-|||-B .dfrac (1)(3)(X)_(1)+dfrac (1)(3)(X)_(2)+dfrac (1)(3)(X)_(3)-|||-(C) . dfrac (1)(5)(X)_(1)+dfrac (2)(5)(X)_(2)+dfrac (2)(5)(X)_(3)-|||-D .dfrac (1)(7)(X)_(1)+dfrac (2)(7)(X)_(2)+dfrac (3)(7)(X)_(3)

本题考查无偏估计和估计量方差的计算，具体涉及样本线性组合的期望与方差性质。

步骤1：判断无偏估计

无偏估计的定义是统计量的期望等于总体参数$\mu$。对于样本$X_1,X_2,X_3$，有$E(X_i)=\mu$（$i=1,2,3$）。
对任意线性组合$\hat{\mu}=a_1X_1+a_2X_2+a_3X_3$，其期望为：
$E(\hat{\mu})=a_1E(X_1)+a_2E(X_2)+a_3E(X_3)=(a_1+a+a_2+a_3)\mu$
要使$E(\hat{\mu})=\mu$，需系数和$a_1+a_2+a_3=1$。

验证各选项系数和：

• A：$\frac{1}{2}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3+2+1}{6}=1$，满足；
• B：$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1$，满足
• C：$\frac{1}{5}+\frac{2}{5}+\frac{2}{5}=1$，满足
• D：$\frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{6}{7}\neq1$，不满足无偏估计，排除

步骤2：计算估计量的方差

总体方差$D(X)=\sigma^2$，样本间样本独立，故$D(\hat{\mu})=a_1^2D(X_1)+a_2^2D(X_2)+a_3^2D(X_3)=(a_1^2+a_2^2+a_3^2)\sigma^2$。
要使方差最小，需最小化系数平方和$Q=a_1^2+a_2^2+a_3^2$，约束条件为$a_1+a_2+a_3=1$。

步骤3：比较平方和最小的系数组合

根据柯西不等式，当$a_1=a_2=a_3=\frac{1}{3}$时，平方和最小：
$Q=\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{3}$
其他选项的平方和均大于$\frac{1}{3}$：

• A：$\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{6}\right)^2=\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{36}=\frac{9+4+1}{36}=\frac{14}{36}>\frac{1}{3}$
  -：$\left(\frac{1}{5}\right)^2+\left(\frac{2}{5}\right)^2+\left(\frac{25\right)^2=\frac{1+4+4}{25}=\frac{9}{25}>\frac{1}{3}$