行列式 4 1 2 4 1 2 0 2 10 5 2 0 0 1 1 7

考查要点：本题主要考查行列式的计算技巧，特别是通过行变换和列变换简化行列式，以及利用行列式展开定理和行列式性质（如两列成比例则行列式为零）求解。

解题核心思路：

1. 行变换：通过消去某些元素，使行列式中出现更多零，简化后续计算。
2. 展开定理：选择零较多的列展开，减少计算量。
3. 列变换：进一步简化子行列式，利用列成比例的性质直接得出结果。

破题关键点：

• 观察行列式结构，优先对第3列展开（前三行元素均为0）。
• 列变换使子行列式中出现两列相同，直接判定行列式为零。

行变换简化原行列式

原行列式为：
$\begin{vmatrix}4 & 1 & 2 & 4 \\1 & 2 & 0 & 2 \\10 & 5 & 2 & 0 \\0 & 1 & 1 & 7\end{vmatrix}$
操作：

• $r_1 - 2r_4$：第1行减去第4行的2倍，得新第1行：
  $(4-0, 1-2, 2-2, 4-14) = (4, -1, 0, -10)$
• $r_3 - 2r_4$：第3行减去第4行的2倍，得新第3行：
  $(10-0, 5-2, 2-2, 0-14) = (10, 3, 0, -14)$

变换后行列式为：
$\begin{vmatrix}4 & -1 & 0 & -10 \\1 & 2 & 0 & 2 \\10 & 3 & 0 & -14 \\0 & 1 & 1 & 7\end{vmatrix}$

按第3列展开

第3列元素为 $0, 0, 0, 1$，展开后仅第4行元素非零：
$= 1 \cdot (-1)^{4+3} \cdot \begin{vmatrix}4 & -1 & -10 \\1 & 2 & 2 \\10 & 3 & -14\end{vmatrix}$

列变换简化子行列式

操作：

• $c_3 - c_2$：第3列减去第2列，得新第3列：
  $(-10 - (-1), 2 - 2, -14 - 3) = (-9, 0, -17)$
• $c_2 - 2c_1$：第2列减去第1列的2倍，得新第2列：
  $(-1 - 2 \cdot 4, 2 - 2 \cdot 1, 3 - 2 \cdot 10) = (-9, 0, -17)$

变换后子行列式为：
$\begin{vmatrix}4 & -9 & -9 \\1 & 0 & 0 \\10 & -17 & -17\end{vmatrix}$
此时第2列与第3列完全相同，根据行列式性质，行列式值为0。