[题目]-|||-4.设随机变量 -N(1,9) . Y-N(0,16) ,相关系数 (rho )_(x)=-dfrac (1)(2) 设-|||-.=dfrac (X)(3)+dfrac (Y)(2) 求:(1)随机变量Z的期望E(Z)与方差D Z);(2)随-|||-机变量X与Z的相关系数ρxz

考查要点：本题主要考查正态分布随机变量的线性组合的期望与方差计算，以及相关系数的求解。需要掌握期望的线性性质、方差的计算公式（包含协方差项），并理解相关系数与协方差的关系。

解题思路：

1. 期望计算：直接利用线性组合的期望公式，将系数分别乘以原变量的期望后相加。
2. 方差计算：展开方差公式，注意包含协方差项，需通过已知相关系数计算协方差。
3. 相关系数计算：先计算协方差，再结合标准差求相关系数。关键点在于正确展开协方差表达式，可能涉及线性组合的协方差性质。

破题关键：

• 协方差公式：$Cov(X,Y) = \rho_{xy} \cdot \sigma_x \cdot \sigma_y$。
• 协方差的线性性质：$Cov(aX + bY, cW + dV) = acCov(X,W) + adCov(X,V) + bcCov(Y,W) + bdCov(Y,V)$。

第（1）题：求$E(Z)$与$D(Z)$

期望计算

根据期望的线性性质：
$E(Z) = E\left(\frac{X}{3} + \frac{Y}{2}\right) = \frac{1}{3}E(X) + \frac{1}{2}E(Y)$
代入已知条件$E(X)=1$，$E(Y)=0$：
$E(Z) = \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{1}{3}$

方差计算

根据方差公式：
$D(Z) = \left(\frac{1}{3}\right)^2 D(X) + \left(\frac{1}{2}\right)^2 D(Y) + 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot Cov(X,Y)$

1. 计算协方差：
   $Cov(X,Y) = \rho_{xy} \cdot \sigma_x \cdot \sigma_y = -\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = -6$
2. 代入方差公式：
   $D(Z) = \frac{1}{9} \cdot 9 + \frac{1}{4} \cdot 16 + 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot (-6)$
   分项计算：
   • $\frac{1}{9} \cdot 9 = 1$
   • $\frac{1}{4} \cdot 16 = 4$
   • $2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot (-6) = -2$
   • 总和：$1 + 4 - 2 = 3$

结论：$E(Z) = \frac{1}{3}$，$D(Z) = 3$。

第（2）题：求$\rho_{xz}$

协方差计算

根据协方差的线性性质：
$Cov(X,Z) = Cov\left(X, \frac{X}{3} + \frac{Y}{2}\right) = \frac{1}{3}Cov(X,X) + \frac{1}{2}Cov(X,Y)$

1. 分解计算：
   • $Cov(X,X) = D(X) = 9$
   • $Cov(X,Y) = -6$（已计算）
2. 代入公式：
   $Cov(X,Z) = \frac{1}{3} \cdot 9 + \frac{1}{2} \cdot (-6) = 3 - 3 = 0$

相关系数计算

相关系数公式为：
$\rho_{xz} = \frac{Cov(X,Z)}{\sigma_x \cdot \sigma_z}$
由于$Cov(X,Z) = 0$，因此$\rho_{xz} = 0$。