设 X_1, X_2, ldots, X_(10) 是来自正态总体 N(0,1) 的简单随机样本，则统计量 Y = (1)/(4)(sum_(i=1)^4 X_i)^2 + (1)/(6)(sum_(i=5)^10 X_i)^2 服从的分布为（ ）A. N(0,2)B. N(0,10)C. chi^2(2)D. chi^2(10)

本题考查正态分布的性质以及卡方分布的定义。解题的关键思路是先根据正态分布的性质求出$\sum_{i = 1}^{4}X_i$与$\sum_{i = 5}^{10}X_i$的分布，再将其标准化，最后根据卡方分布的定义判断统计量$Y$的分布。

步骤一：求$\sum_{i = 1}^{4}X_i$与$\sum_{i = 5}^{10}X_i$的分布

已知$X_1, X_2, \ldots, X_{10}$是来自正态总体$N(0,1)$的简单随机样本，根据正态分布的性质：若$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立且都服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，则$\sum_{i = 1}^{n}X_i$服从正态分布$N(n\mu,n\sigma^2)$。

• 对于$\sum_{i = 1}^{4}X_i$，其中$n = 4$，$\mu = 0$，$\sigma^2 = 1$，可得$\sum_{i = 1}^{4}X_i\sim N(4\times0,4\times1^2)=N(0,4)$。
• 对于$\sum_{i = 5}^{10}X_i$，其中$n = 6$，$\mu = 0$，$\sigma^2 = 1$，可得$\sum_{i = 5}^{10}X_i\sim N(6\times0,6\times1^2)=N(0,6)$。

步骤二：将$\sum_{i = 1}^{4}X_i$与$\sum_{i = 5}^{10}X_i$标准化

若$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，则$\frac{X - \mu}{\sigma}\sim N(0,1)$。

• 对于$\sum_{i = 1}^{4}X_i\sim N(0,4)$，令$Z_1 = \frac{\sum_{i = 1}^{4}X_i - 0}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{4}X_i$，则$Z_1\sim N(0,1)$。
• 对于$\sum_{i = 5}^{10}X_i\sim N(0,6)$，令$Z_2 = \frac{\sum_{i = 5}^{10}X_i - 0}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}\sum_{i = 5}^{10}X_i$，则$Z_2\sim N(0,1)$。

步骤三：将统计量$Y$进行变形

已知$Y = \frac{1}{4}\left(\sum_{i = 1}^{4}X_i\right)^2 + \frac{1}{6}\left(\sum_{i = 5}^{10}X_i\right)^2$，将$Z_1 = \frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{4}X_i$和$Z_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}\sum_{i = 5}^{10}X_i$代入可得：
$Y = Z_1^2 + Z_2^2$

步骤四：根据卡方分布的定义判断$Y$的分布

若$Z_1,Z_2,\cdots,Z_n$相互独立且都服从标准正态分布$N(0,1)$，则$\sum_{i = 1}^{n}Z_i^2$服从自由度为$n$的卡方分布，记为$\chi^2(n)$。
因为$Z_1$与$Z_2$相互独立且都服从标准正态分布$N(0,1)$，所以$Y = Z_1^2 + Z_2^2$服从自由度为$2$的卡方分布，即$Y\sim\chi^2(2)$。