题目

8、解方程z^4=-1。(10分)

8、解方程$z^{4}=-1$。(10分)

题目解答

答案

为了求解方程 $ z^4 = -1 $，我们需要找到复数 $ z $ 使得 $ z^4 = -1 $。首先，我们将 $-1$ 写成极坐标形式。复数 $-1$ 的模是 $1$，辐角是 $\pi + 2k\pi$（其中 $k$ 是整数）。因此，我们可以写成： \[ -1 = e^{i(\pi + 2k\pi)} \] 我们要求 $ z^4 = e^{i(\pi + 2k\pi)} $。设 $ z = re^{i\theta} $，其中 $ r $ 是 $ z $ 的模，$\theta$ 是 $ z $ 的辐角。那么： \[ z^4 = (re^{i\theta})^4 = r^4 e^{i4\theta} \] 为了使 $ z^4 = e^{i(\pi + 2k\pi)} $，必须有 $ r^4 = 1 $ 和 $ 4\theta = \pi + 2k\pi + 2m\pi $（其中 $ m $ 是整数）。由于 $ r $ 是非负实数，所以 $ r = 1 $。对于 $ \theta $，我们有： \[ 4\theta = \frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \] 其中 $ k = 0, 1, 2, 3 $。因此， $ \theta $ 的可能值为： \[ \theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \] corresponding to $ k = 0, 1, 2, 3 $。 将这些值代入 $ z = e^{i\theta} $ 中，我们得到四个解： \[ z_0 = e^{i\frac{\pi}{4}} = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ z_1 = e^{i\frac{3\pi}{4}} = \cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ z_2 = e^{i\frac{5\pi}{4}} = \cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ z_3 = e^{i\frac{7\pi}{4}} = \cos\frac{7\pi}{4} + i\sin\frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2} \] 因此，方程 $ z^4 = -1 $ 的解为： \[ \boxed{\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}} \]

解析

考查要点：本题主要考查复数方程的解法，特别是利用极坐标形式（欧拉公式）求解复数根的能力。

解题核心思路：
将方程 $z^4 = -1$ 转化为极坐标形式，利用复数的模和辐角性质，找到所有满足条件的复数解。关键在于：

  1. 将 $-1$ 写成极坐标形式，确定其模和辐角；
  2. 设 $z = re^{i\theta}$，通过模和辐角的等式分别求解；
  3. 确定辐角的周期性，选取不同的整数 $k$ 值得到所有解。

破题关键点：

  • 模的方程：$r^4 = 1$，直接得出 $r = 1$；
  • 辐角方程：$4\theta = \pi + 2k\pi$，通过取 $k = 0,1,2,3$ 得到四个不同的辐角；
  • 解的对称性：四个解在复平面上均匀分布在单位圆上，间隔 $\frac{\pi}{2}$。

步骤1：将 $-1$ 写成极坐标形式
复数 $-1$ 的模为 $1$，辐角为 $\pi + 2k\pi$（$k$ 为整数），因此：
$-1 = e^{i(\pi + 2k\pi)}.$

步骤2：设 $z = re^{i\theta}$
将 $z^4$ 展开为极坐标形式：
$z^4 = (re^{i\theta})^4 = r^4 e^{i4\theta}.$
根据方程 $z^4 = -1$，需满足：
$r^4 e^{i4\theta} = e^{i(\pi + 2k\pi)}.$

步骤3：解模的方程
由 $r^4 = 1$ 得 $r = 1$（模非负）。

步骤4：解辐角方程
由 $4\theta = \pi + 2k\pi$ 得：
$\theta = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}.$
取 $k = 0,1,2,3$，得到四个不同的辐角：
$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}.$

步骤5：写出所有解
将辐角代入 $z = e^{i\theta}$，并转换为直角坐标形式：

  1. $\theta = \frac{\pi}{4}$：
    $z_0 = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}.$
  2. $\theta = \frac{3\pi}{4}$：
    $z_1 = \cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}.$
  3. $\theta = \frac{5\pi}{4}$：
    $z_2 = \cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}.$
  4. $\theta = \frac{7\pi}{4}$：
    $z_3 = \cos\frac{7\pi}{4} + i\sin\frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}.$