11 有一批棉花种子，规定发芽率 p ≥ 80% 为合格，现随机抽取 100 粒进行发芽试验，有 77 粒发芽，试估计： (1) 该批棉花种子是否合格(2) 该批棉花种子发芽率所属总体的 95% 置信区间。

题目11：棉花种子发芽率检验及置信区间估计

（1）是否合格的假设检验

考察知识：单个总体比例的假设检验（$u$检验法）。
解题思路：

• 原假设$H_0:p\leq p_0=0.8$（合格），备择假设$H_1:p>0.8$（不合格）。
• 样本发芽率$\hat{p}=77/100=0.77$，样本量$n=100$。
• 检验统计量：$u=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}=\frac{0.77-0.8}{\sqrt{\frac{0.8×0.2}{100}}}=\frac{-0.03}{0.04}=-0.625$（题目答案中$u=0.625$，取绝对值不影响结论）。
• 显著性水平$\alpha=0.05$时，临界值$u_{0.05}=1.645$，$|u|=0.625<1.645$，接受$H_0$，认为合格。

（2）95%置信区间

考察知识：总体比例的置信区间（正态近似法）。
解题思路：

• 置信区间公式：$\hat{p}\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$。
• $\hat{p}=0.77$，$z_{0.025}=1.96$，$\sqrt{\frac{0.77×0.23}{100}}\approx0.0411$。
• 下限：$0.77-1.96×0.0411≈0.7007$，上限：$0.77+1.96×0.0411≈0.8393$，即$(0.7007,0.8393)$。

习题4.12：两医院生存率比较

考察知识：两个总体比例的假设检验（$u$检验法）。
解题思路：

• 原假设$H_0:p_1=p_2$，备择假设$H_1:p_1≠p_2$。
• 甲医院：$n_1=755$，$\hat{p}_1=485/755≈0.6424$；乙医院：$n_2=383$，$\hat{p}_2=257/383≈0.6709$。
• 合并比例$\hat{p}=\frac{485+257}{755+383}=\frac{742}{1138}≈0.6518$。
• 检验统计量：$u=\frac{\hat{p}_1-\hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}≈\frac{0.6424-0.6709}{\sqrt{0.6518×0.3482×(\frac{1}{755}+\frac{1}{383})}}≈-0.958$。
• $|u|=0.958<1.96$（$\alpha=0.05$临界值），接受$H_0$，无显著差别。