题目
14.(填空题,3分)-|||-设 (X,Y)sim N(1,0,4,1,dfrac (1)(2)) ,则 cot (X,Y)= __-|||-_
题目解答
答案
根据题意可知，X~N(1,0), Y~N(0,1), 又因为$\cot (X,Y)=\dfrac{COV(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}$, 所以$\cot (X,Y)=\dfrac{1/2}{\sqrt{4}\times \sqrt{1}}=\dfrac{1}{4}$
$\dfrac{1}{4}$
$\dfrac{1}{4}$
解析
步骤 1：确定随机变量的分布参数
根据题目，$(X,Y)\sim N(1,0,4,1,\dfrac {1}{2})$，这表示随机变量$(X,Y)$服从二维正态分布，其中$X$的均值为$1$，方差为$4$；$Y$的均值为$0$，方差为$1$；$X$和$Y$的相关系数为$\dfrac{1}{2}$。
步骤 2：计算协方差
协方差$COV(X,Y)$可以通过相关系数$\rho_{XY}$和标准差$\sigma_X$、$\sigma_Y$来计算，即$COV(X,Y)=\rho_{XY}\sigma_X\sigma_Y$。根据题目，$\rho_{XY}=\dfrac{1}{2}$，$\sigma_X=\sqrt{4}=2$，$\sigma_Y=\sqrt{1}=1$，所以$COV(X,Y)=\dfrac{1}{2}\times2\times1=1$。
步骤 3：计算相关系数
相关系数$\cot (X,Y)$的计算公式为$\cot (X,Y)=\dfrac{COV(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}$，其中$DX$和$DY$分别是$X$和$Y$的方差。根据题目，$DX=4$，$DY=1$，所以$\cot (X,Y)=\dfrac{1}{\sqrt{4}\times \sqrt{1}}=\dfrac{1}{2}$。
根据题目，$(X,Y)\sim N(1,0,4,1,\dfrac {1}{2})$，这表示随机变量$(X,Y)$服从二维正态分布，其中$X$的均值为$1$，方差为$4$；$Y$的均值为$0$，方差为$1$；$X$和$Y$的相关系数为$\dfrac{1}{2}$。
步骤 2：计算协方差
协方差$COV(X,Y)$可以通过相关系数$\rho_{XY}$和标准差$\sigma_X$、$\sigma_Y$来计算，即$COV(X,Y)=\rho_{XY}\sigma_X\sigma_Y$。根据题目，$\rho_{XY}=\dfrac{1}{2}$，$\sigma_X=\sqrt{4}=2$，$\sigma_Y=\sqrt{1}=1$，所以$COV(X,Y)=\dfrac{1}{2}\times2\times1=1$。
步骤 3：计算相关系数
相关系数$\cot (X,Y)$的计算公式为$\cot (X,Y)=\dfrac{COV(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}$，其中$DX$和$DY$分别是$X$和$Y$的方差。根据题目，$DX=4$，$DY=1$，所以$\cot (X,Y)=\dfrac{1}{\sqrt{4}\times \sqrt{1}}=\dfrac{1}{2}$。