6.6假设某种设备每天停机时间服从均值 mu =4 小时、标准差 =0.8 小时的分布.-|||-(1)求一个月(30天)中,每天平均停机时间在1到5小时之间的概率;-|||-(2)求一个月(30天)中,总的停机时间不超过115小时的概率.

考查要点：本题主要考查中心极限定理的应用，涉及样本均值的分布和总和的分布，需要将实际问题转化为标准正态分布进行计算。

解题思路：

1. 问题（1）：求30天平均停机时间在1到5小时的概率。根据中心极限定理，样本均值近似服从正态分布，均值为$\mu$，标准差为$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。由于区间$[1,5]$覆盖了均值附近较宽范围，概率接近1。
2. 问题（2）：求总停机时间不超过115小时的概率。总时间的分布均值为$30\mu$，标准差为$\sqrt{30}\sigma$。通过标准化计算对应概率。

破题关键：正确识别分布类型（正态近似），准确计算均值和标准差，合理转化实际值为标准正态变量。

第（1）题

确定样本均值的分布

• 样本均值$\bar{X}$近似服从正态分布：$\bar{X} \sim N\left(\mu=4, \sigma_{\bar{X}} = \frac{0.8}{\sqrt{30}} \approx 0.146\right)$。

计算概率范围

• 区间$[1,5]$对应标准差范围：$\frac{1-4}{0.146} \approx -20.55$到$\frac{5-4}{0.146} \approx 6.84$。
• 由于正态分布在$\mu \pm 3\sigma$外的概率极低，此处区间几乎覆盖全部可能，故概率接近1。

第（2）题

确定总时间的分布

• 总时间$S = \sum X_i$服从正态分布：$S \sim N\left(\mu_S = 30 \times 4 = 120, \sigma_S = \sqrt{30} \times 0.8 \approx 4.381\right)$。

标准化计算

• 标准化值：$Z = \frac{115 - 120}{4.381} \approx -1.14$。
• 查标准正态分布表得概率：$P(Z \le -1.14) \approx 0.127$。