设 X_1, X_2, ..., X_n 是取自指数分布 E(lambda) 的样本，lambda > 0 为常数.(1) 试求样本均值 overline(X) 所服从的分布；(2) 若样本容量 n = 40，试求 overline(X) 的渐近分布.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自指数分布 $E(\lambda)$ 的样本，$\lambda > 0$ 为常数. (1) 试求样本均值 $\overline{X}$ 所服从的分布； (2) 若样本容量 $n = 40$，试求 $\overline{X}$ 的渐近分布.
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查指数分布的性质、伽玛分布的可加性，以及中心极限定理的应用。
解题思路：
- 第一问：利用指数分布的独立同分布变量之和服从伽玛分布的性质，结合样本均值的定义，推导其分布。
- 第二问：当样本容量较大时，应用中心极限定理，将样本均值的分布近似为正态分布。
关键点：
- 指数分布的和：若 $X_i \sim E(\lambda)$，则 $\sum_{i=1}^n X_i \sim \text{Gamma}(n, \lambda)$。
- 伽玛分布的缩放性质：若 $Y \sim \text{Gamma}(k, \theta)$，则 $aY \sim \text{Gamma}(k, a\theta)$。
- 中心极限定理：样本均值的渐近分布为正态分布，均值为总体均值，方差为总体方差除以样本量。
第（1）题
指数分布的和服从伽玛分布
若 $X_1, X_2, \cdots, X_n \sim E(\lambda)$，则它们的和 $S = \sum_{i=1}^n X_i \sim \text{Gamma}(n, \lambda)$，其中形状参数为 $n$，速率参数为 $\lambda$。
样本均值的分布
样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n}S$。根据伽玛分布的缩放性质，若 $S \sim \text{Gamma}(n, \lambda)$，则 $\overline{X} = \frac{1}{n}S \sim \text{Gamma}(n, n\lambda)$。
结论：$\overline{X} \sim \text{Gamma}(n, n\lambda)$。
第（2）题
应用中心极限定理
当样本容量 $n = 40$ 时，根据中心极限定理，样本均值 $\overline{X}$ 的渐近分布为正态分布，其均值为总体均值 $\mathbb{E}[X_i] = \frac{1}{\lambda}$，方差为总体方差 $\text{Var}(X_i) = \frac{1}{\lambda^2}$ 除以样本量 $n$，即：
$\overline{X} \approx N\left(\frac{1}{\lambda}, \frac{1}{40\lambda^2}\right).$
结论：渐近分布为 $N\left(\frac{1}{\lambda}, \frac{1}{40\lambda^2}\right)$。