2.9 某种元件的寿命X(单位：h)的概率密度函数为f(x)=}(1000)/(x^2),&xgeqslant 1000,0,&x<1000,求5个元件在使用1500小时后，恰有两个元件失效的概率.
题目解答
答案
-
计算单个元件在1500小时内失效的概率：
$P(X \leq 1500) = \int_{1000}^{1500} \frac{1000}{x^2} \, dx = \left[ -\frac{1000}{x} \right]_{1000}^{1500} = \frac{1}{3}$
故 $ p = \frac{1}{3} $。 -
计算5个元件中恰有2个失效的概率（二项分布）：
$P(X = 2) = \binom{5}{2} p^2 (1-p)^3 = 10 \times \left( \frac{1}{3} \right)^2 \times \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{80}{243}$
答案：
$\boxed{\frac{80}{243}}$
解析
考查要点：本题主要考查概率密度函数的应用和二项分布的概率计算。
解题思路：
- 确定单个元件在指定时间内的失效概率：通过积分概率密度函数求出单个元件寿命不超过1500小时的概率。
- 应用二项分布计算多个独立事件的概率：将单个元件的失效概率视为独立事件的成功概率，利用二项分布公式计算5个元件中恰好2个失效的概率。
关键点：
- 积分计算概率时注意积分上下限与概率密度函数的定义域对应。
- 二项分布公式的正确应用，需明确试验次数、成功次数及概率参数。
步骤1：计算单个元件在1500小时内失效的概率
失效概率为$P(X \leq 1500)$，即对概率密度函数$f(x)$从$1000$到$1500$积分：
$\begin{aligned}P(X \leq 1500) &= \int_{1000}^{1500} \frac{1000}{x^2} \, dx \\&= \left[ -\frac{1000}{x} \right]_{1000}^{1500} \\&= \left( -\frac{1000}{1500} \right) - \left( -\frac{1000}{1000} \right) \\&= \frac{1}{3}.\end{aligned}$
因此，单个元件失效的概率$p = \frac{1}{3}$。
步骤2：应用二项分布计算5个元件中恰有2个失效的概率
根据二项分布公式：
$P(X = 2) = \binom{5}{2} p^2 (1-p)^3.$
代入数值计算：
$\begin{aligned}\binom{5}{2} &= 10, \\p^2 &= \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9}, \\(1-p)^3 &= \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{8}{27}, \\P(X = 2) &= 10 \times \frac{1}{9} \times \frac{8}{27} = \frac{80}{243}.\end{aligned}$