题目
设总体 X sim N(mu, sigma^2), mu, sigma^2 均未知，则 (1)/(n) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2 是A. mu 的无偏估计B. sigma^2 的无偏估计C. mu 的矩估计D. sigma^2 的极大似然估计
设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, $\mu, \sigma^2$ 均未知，则 $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$ 是
A. $\mu$ 的无偏估计
B. $\sigma^2$ 的无偏估计
C. $\mu$ 的矩估计
D. $\sigma^2$ 的极大似然估计
题目解答
答案
D. $\sigma^2$ 的极大似然估计
解析
步骤 1：理解表达式
表达式 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$ 是样本方差的有偏估计。样本方差 $S^2$ 定义为：\[ S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2} \] 而表达式 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$ 与 $S^2$ 类似，但分母是 $n$ 而不是 $n-1$。
步骤 2：无偏估计
样本方差 $S^2$ 是总体方差 $\sigma^2$ 的无偏估计，意味着：\[ E(S^2) = \sigma^2 \] 然而，$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$ 是 $\sigma^2$ 的有偏估计，因为：\[ E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\right) = \frac{n-1}{n}\sigma^2 \] 这表明 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$ 平均低估了 $\sigma^2$。
步骤 3：矩估计
$\mu$ 的矩估计是样本均值 $\overline{X}$，而不是 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$。
步骤 4：极大似然估计
对于正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，$\sigma^2$ 的极大似然估计是 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$。这是因为似然函数在该值处达到最大。
表达式 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$ 是样本方差的有偏估计。样本方差 $S^2$ 定义为：\[ S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2} \] 而表达式 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$ 与 $S^2$ 类似，但分母是 $n$ 而不是 $n-1$。
步骤 2：无偏估计
样本方差 $S^2$ 是总体方差 $\sigma^2$ 的无偏估计，意味着：\[ E(S^2) = \sigma^2 \] 然而，$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$ 是 $\sigma^2$ 的有偏估计，因为：\[ E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\right) = \frac{n-1}{n}\sigma^2 \] 这表明 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$ 平均低估了 $\sigma^2$。
步骤 3：矩估计
$\mu$ 的矩估计是样本均值 $\overline{X}$，而不是 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$。
步骤 4：极大似然估计
对于正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，$\sigma^2$ 的极大似然估计是 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$。这是因为似然函数在该值处达到最大。