45.某保险公司多年的统计资料表明,在索赔中被盗索赔户占20%,以X-|||-表示在随机抽查的100个索赔户中,因被盗向保险公司索赔的户数.-|||-(1)写出X的概率分布;-|||-(2)利用棣莫弗-拉普拉斯定理,求被盗索赔户不少于14户且不多于30户-|||-的概率近似值.

考查要点：本题主要考查二项分布的概率分布及棣莫弗-拉普拉斯定理的应用。

解题思路：

1. 第（1）题：明确题目中事件的独立重复性，判断服从二项分布，直接写出概率质量函数。
2. 第（2）题：利用正态分布近似二项分布，计算均值与方差，通过标准化转换求概率，注意是否需要连续性修正。

破题关键：

• 二项分布的识别：每次索赔独立，结果只有两种可能（被盗或非盗）。
• 正态近似条件：当$n$较大时，二项分布可用均值$\mu=np$、方差$\sigma^2=np(1-p)$的正态分布近似。
• 连续性修正：离散变量转连续近似时，需调整边界值（但本题答案未使用，需注意题目隐含要求）。

第（1）题

二项分布的推导：

• 每个索赔户是否被盗索赔是独立事件，概率分别为$p=0.2$（成功）和$1-p=0.8$（失败）。
• 抽查100户，被盗索赔户数$X$服从参数为$n=100$，$p=0.2$的二项分布。
• 概率分布公式为：
  $P\{X=k\} = C_{100}^k (0.2)^k (0.8)^{100-k}, \quad k=0,1,2,\dots,100.$

第（2）题

正态近似步骤：

1. 计算均值与方差：
   • $\mu = np = 100 \times 0.2 = 20$，
   • $\sigma^2 = np(1-p) = 100 \times 0.2 \times 0.8 = 16$，$\sigma = 4$。
2. 标准化转换：
   • 将$X$标准化为$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
   • 原问题$P(14 \leq X \leq 30)$转换为：
     $P\left(\frac{14-20}{4} \leq Z \leq \frac{30-20}{4}\right) = P(-1.5 \leq Z \leq 2.5).$
3. 查标准正态分布表：
   • $\Phi(2.5) \approx 0.9938$，$\Phi(-1.5) \approx 0.0668$。
   • 概率差值为$0.9938 - 0.0668 = 0.927$。