在下面的 4 个随机变量的分布中,期望最大,方差最小的是() A)X sim N(5, (1)/(2)) B)Y sim U(5,7) C)Z 服从指数分布 f(z)=} (1)/(6)e^-(z)/(6) & z >0 0 & z leq 0

为了确定哪个随机变量的分布具有最大的期望和最小的方差，我们需要计算每个分布的期望和方差，然后进行比较。 **A. $X \sim N(5, \frac{1}{2})$** 对于正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，期望是 $\mu$，方差是 $\sigma^2$。这里，$\mu = 5$ 和 $\sigma^2 = \frac{1}{2}$。 - 期望：$E(X) = 5$ - 方差：$\text{Var}(X) = \frac{1}{2}$ **B. $Y \sim U(5, 7)$** 对于均匀分布 $U(a, b)$，期望是 $\frac{a + b}{2}$，方差是 $\frac{(b - a)^2}{12}$。这里，$a = 5$ 和 $b = 7$。 - 期望：$E(Y) = \frac{5 + 7}{2} = 6$ - 方差：$\text{Var}(Y) = \frac{(7 - 5)^2}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ **C. $Z$ 服从指数分布 $f(z) = \begin{cases}\frac{1}{6}e^{-\frac{z}{6}} & z > 0 \\ 0 & z \leq 0\end{cases}$** 对于指数分布 $f(z) = \frac{1}{\theta}e^{-\frac{z}{\theta}}$，期望是 $\theta$，方差是 $\theta^2$。这里，$\theta = 6$。 - 期望：$E(Z) = 6$ - 方差：$\text{Var}(Z) = 6^2 = 36$ **D. $T$ 服从指数分布 $f(t) = \begin{cases}\sqrt{3}e^{-\sqrt{3}t} & t > 0 \\ 0 & t \leq 0\end{cases}$** 对于指数分布 $f(t) = \frac{1}{\theta}e^{-\frac{t}{\theta}}$，期望是 $\theta$，方差是 $\theta^2$。这里，$\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$。 - 期望：$E(T) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ - 方差：$\text{Var}(T) = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3}$ 现在，让我们比较期望和方差： - $X$：期望 = 5，方差 = $\frac{1}{2}$ - $Y$：期望 = 6，方差 = $\frac{1}{3}$ - $Z$：期望 = 6，方差 = 36 - $T$：期望 = $\frac{\sqrt{3}}{3}$，方差 = $\frac{1}{3}$ 最大的期望是 6，由 $Y$ 和 $Z$ 共享。在这些中，最小的方差是 $\frac{1}{3}$，由 $Y$ 和 $T$ 共享。由于 $Y$ 具有最大的期望和最小的方差，答案是： $\boxed{B}$