题目

5. lambda 为何值时，线性方程组lambda x_{1)+x_(2)+x_(3)=lambda-3 x_(1)+lambda x_(2)+x_(3)=-2 x_(1)+x_(2)+lambda x_(3)=-2.有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。

5. $\lambda$ 为何值时，线性方程组$\left\{\begin{array}{c}\lambda x_{1}+x_{2}+x_{3}=\lambda-3 \\ x_{1}+\lambda x_{2}+x_{3}=-2 \\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}=-2\end{array}\right.$有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。

题目解答

答案

将增广矩阵 $B$ 进行行初等变换： 1. **唯一解**：当 $\lambda \neq 1$ 且 $\lambda \neq -2$ 时，$R(A) = R(B) = 3$，方程组有唯一解。 2. **无解**：当 $\lambda = -2$ 时，$R(A) = 2$，$R(B) = 3$，方程组无解。 3. **无穷多解**：当 $\lambda = 1$ 时，$R(A) = R(B) = 1$，方程组有无穷多解。通解为： \[ \boxed{ \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + c_1 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} } \] 其中，$c_1$ 和 $c_2$ 是任意常数。

解析

考查要点：本题主要考查线性方程组解的情况（唯一解、无解、无穷多解）的判定，以及在无穷多解时求通解的方法。

解题核心思路：

  1. 行列式法：首先计算系数矩阵的行列式，若行列式非零，则方程组有唯一解；
  2. 秩判别法：当行列式为零时，通过比较系数矩阵和增广矩阵的秩，判断方程组是无解还是无穷多解；
  3. 通解求法：当方程组有无穷多解时，通过行简化阶梯形矩阵确定自由变量，写出通解表达式。

破题关键点：

  • 行列式计算：通过展开或因式分解确定行列式的根；
  • 秩的比较：对增广矩阵进行行变换，判断秩的变化；
  • 基础解系：选取自由变量，构造通解。

1. 行列式分析

系数矩阵为：
$A = \begin{bmatrix}\lambda & 1 & 1 \\1 & \lambda & 1 \\1 & 1 & \lambda\end{bmatrix}$
计算行列式：
$\begin{aligned}|A| &= \lambda(\lambda^2 - 1) - 1(1 \cdot \lambda - 1 \cdot 1) + 1(1 \cdot 1 - \lambda \cdot 1) \\&= \lambda^3 - 3\lambda + 2 \\&= (\lambda - 1)^2(\lambda + 2)\end{aligned}$
结论：当 $\lambda \neq 1$ 且 $\lambda \neq -2$ 时，$|A| \neq 0$，方程组有唯一解。

2. 无解情况（$\lambda = -2$）

当 $\lambda = -2$ 时，系数矩阵秩 $R(A) = 2$，增广矩阵秩 $R(B) = 3$，矛盾方程出现，方程组无解。

3. 无穷多解情况（$\lambda = 1$）

当 $\lambda = 1$ 时，方程组化简为：
$\begin{cases}x_1 + x_2 + x_3 = -2 \\0 = 0 \\0 = 0\end{cases}$
基础解系：取 $x_2 = s$，$x_3 = t$，则 $x_1 = -2 - s - t$，通解为：
$\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$