题目

2.lim_(n to infty ) (1)/(n^3)[ln (1)/(n)+4ln (2)/(n)+... +(n-1)^2ln (n-1)/(n)]=____.

2.$\lim_{n \to \infty } \frac{1}{n^{3}}[\ln \frac{1}{n}+4\ln \frac{2}{n}+\cdots +(n-1)^{2}\ln \frac{n-1}{n}]=$____.

题目解答

答案

将原式改写为：
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^{n-1} k^2 \ln \frac{k}{n}.$
利用黎曼和，当 $n \to \infty$ 时，和式趋近于积分：
$\int_0^1 x^2 \ln x \, dx.$
计算积分：
$\int x^2 \ln x \, dx = \frac{x^3}{3} \left( \ln x - \frac{1}{3} \right) + C,$
故
$\int_0^1 x^2 \ln x \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \left( \ln x - \frac{1}{3} \right) \right]_0^1 = -\frac{1}{9}.$
答案： $\boxed{-\frac{1}{9}}$

解析

本题考查利用黎曼和求极限以及定积分的计算。解题思路如下：

  1. 首先将给定的极限式子转化为和式形式，方便后续利用黎曼和的知识进行处理。
  2. 把和式转化为定积分形式，根据黎曼和的定义，当$n\to\infty$时，$\frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n - 1}f(\frac{k}{n})$趋近于$\int_{0}^{1}f(x)dx$，这里$f(x)=x^{2}\ln x$。
  3. 计算定积分$\int_{0}^{1}x^{2}\ln xdx$，使用分部积分法$\int udv=uv-\int vdu$。
    • 令$u = \ln x$，$dv = x^{2}dx$。
    • 对$u$求导：$du=\frac{1}{x}dx$。
    • 对$dv$积分：$v=\int x^{2}dx=\frac{1}{3}x^{3}$。
    • 根据分部积分公式可得：
      $\int x^{2}\ln xdx=\frac{1}{3}x^{3}\ln x-\int\frac{1}{3}x^{3}\cdot\frac{1}{x}dx=\frac{1}{3}x^{3}\ln x-\frac{1}{3}\int x^{2}dx$
      $=\frac{1}{3}x^{3}\ln x-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}x^{3}+C=\frac{x^{3}}{3}(\ln x - \frac{1}{3})+C$
  4. 计算定积分的值：
    $\int_{0}^{1}x^{2}\ln xdx=\left[\frac{x^{3}}{3}(\ln x - \frac{1}{3})\right]_{0}^{1}$
    对于$\lim_{x\to0^{+}}\frac{x^{3}}{3}(\ln x - \frac{1}{3})$，使用洛必达法则，$\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln x - \frac{1}{3}}{\frac{3}{x^{3}}}=\lim_{x\to0^{+}}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{9}{x^{4}}}=\lim_{x\to0^{+}}(-\frac{x^{3}}{9}) = 0$。
    当$x = 1$时，$\frac{1^{3}}{3}(\ln 1 - \frac{1}{3})=-\frac{1}{9}$。
    所以$\int_{0}^{1}x^{2}\ln xdx=0-(-\frac{1}{9})=-\frac{1}{9}$。