题目
设随机变量 X 服从正态分布 N(91,0.5^2)，Phi(2)=0.9772，则 PX >90=(）。A. 0.0228B. 0.9772C. 0D. 1
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(91,0.5^2)$，$\Phi(2)=0.9772$，则 $P\{X >90\}=$(）。
A. 0.0228
B. 0.9772
C. 0
D. 1
题目解答
答案
B. 0.9772
解析
本题考查正态分布的概率计算，解题思路是先将一般正态分布转化为标准正态分布，再利用标准正态分布的性质和已知条件计算概率。
- 已知随机变量$X$服从正态分布$N(91,0.5^2)$，即$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，其中$\mu = 91$，$\sigma = 0.5$。
- 要求$P\{X > 90\}$，根据正态分布的性质，若$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，则$Z=\frac{X - \mu}{\sigma}\sim N(0,1)$（标准正态分布）。
- 对$P\{X > 90\}$进行标准化处理，将$X$转化为$Z$：
- $P\{X > 90\}=1 - P\{X\leqslant 90\}$。
- 令$Z=\frac{X - \mu}{\sigma}=\frac{X - 91}{0.5}$，则$P\{X\leqslant 90\}=P\{\frac{X - 91}{0.5}\leqslant\frac{90 - 91}{0.5}\}$。
- 计算$\frac{90 - 91}{0.5}=\frac{-1}{0.5}=-2$，所以$P\{X\leqslant 90\}=P\{Z\leqslant - 2\}$。
- 对$P\{X > 90\}$进行标准化处理，将$X$转化为$Z$：
- 对于标准正态分布$Z\sim N(0,1)$，有$\varPhi(z)=P\{Z\leqslant z\}$，且$\varPhi(-z)=1-\varPhi(z)$。
- 那么$P\{Z\leqslant - 2\}=\varPhi(-2)=1 - \varPhi(2)$。
- 已知$\varPhi(2)=0.9772$，所以$P\{Z\leqslant - 2\}=1 - 0.9772 = 0.0228$。
- 计算$P\{X > 90\}$：
- 因为$P\{X > 90\}=1 - P\{X\leqslant 90\}$，$P\{X\leqslant 90\}=0.0228$，所以$P\{X > 90\}=1 - 0.0228 = 0.9772$。