例1 求极限 lim _(xarrow 1)dfrac (sqrt {3-x)-sqrt (1+x)}({x)^2+x-2}

考查要点：本题主要考查0/0型不定式的极限求解方法，重点在于通过分子有理化消除根号中的零因子，结合分母因式分解，化简表达式后直接代入求解。

解题核心思路：

1. 识别不定式类型：代入$x=1$后发现分子分母均为0，属于$\dfrac{0}{0}$型不定式。
2. 分子有理化：通过乘以共轭表达式消去分子中的根号差，将分子转化为多项式形式。
3. 分母因式分解：将分母分解为$(x-1)(x+2)$，与分子约分后消去零因子$(x-1)$。
4. 代入求值：化简后的表达式直接代入$x=1$即可得到极限值。

步骤1：因式分解分母
分母为$x^2 + x - 2$，分解得：
$x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1).$

步骤2：分子有理化
分子$\sqrt{3 - x} - \sqrt{1 + x}$，乘以共轭表达式$\sqrt{3 - x} + \sqrt{1 + x}$：
$\begin{aligned}\text{分子} &= (\sqrt{3 - x} - \sqrt{1 + x})(\sqrt{3 - x} + \sqrt{1 + x}) \\&= (3 - x) - (1 + x) \\&= 2 - 2x \\&= -2(x - 1).\end{aligned}$

步骤3：约分并化简
原式变为：
$\frac{-2(x - 1)}{(x + 2)(x - 1)(\sqrt{3 - x} + \sqrt{1 + x})} = \frac{-2}{(x + 2)(\sqrt{3 - x} + \sqrt{1 + x})}.$

步骤4：代入$x=1$
分母代入$x=1$：
$(1 + 2)(\sqrt{3 - 1} + \sqrt{1 + 1}) = 3 \cdot (2\sqrt{2}) = 6\sqrt{2}.$
因此极限值为：
$\frac{-2}{6\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{6}.$