不定积分 int (sin sqrt(x))/(sqrt(x)) dx = ( )A. -2 cos sqrt(x) + CB. cos sqrt(x) + CC. 2 cos sqrt(x) + CD. -cos sqrt(x) + C

考查要点：本题主要考查不定积分的换元法应用，特别是处理根号变量的积分技巧。

解题核心思路：通过变量代换简化积分表达式。关键在于选择适当的代换变量，将原积分转化为基本积分形式。

破题关键点：

1. 令 $u = \sqrt{x}$，将原积分中的根号变量转化为代换变量。
2. 计算微分 $dx$，并代入积分表达式，消去原变量 $x$。
3. 简化积分形式，利用基本积分公式求解。

变量代换

令 $u = \sqrt{x}$，则：

• $x = u^2$
• $dx = 2u \, du$

代入积分

将原积分中的变量替换为 $u$：
$\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx = \int \frac{\sin u}{u} \cdot 2u \, du$

简化积分

约分后得到：
$2 \int \sin u \, du$

积分计算

利用基本积分公式 $\int \sin u \, du = -\cos u + C$，得：
$2 \int \sin u \, du = -2 \cos u + C$

回代变量

将 $u = \sqrt{x}$ 代回，最终结果为：
$-2 \cos \sqrt{x} + C$