3人被等可能地分配到4个房间的任一间去,则指定的房间中恰有2人的概率是()A. 3div 64 B. 3div 16 C. 9div 64 D. 5div 32

本题考查古典概型概率的计算。解题思路是先确定所有可能的分配情况，再确定指定房间中恰有$2$人的情况，最后根据古典概型概率公式计算概率。

步骤一：计算所有可能的分配情况

因为每个人都有$4$种选择房间的方法，根据分步乘法计数原理，$3$个人被分配到$4$个房间的总方法数为$4\times4\times4 = 4^3=64$种。

步骤二：计算指定房间中恰有$2$人的情况

• 从$3$人中选$2$人进入指定房间：从$3$个人中选$2$个人的组合数，根据组合数公式$C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n - k)!}$，这里$n = 3$，$k = 2$，则$C_{3}^2=\frac{3!}{2!(3 - 2)!}=\frac{3\times2!}{2!×1!}= 3$种选法。
• 剩下$1$人进入其余$3$个房间中的任意一间：有$3$种选择方法。

根据分步乘法计数原理，指定房间中恰有$2$人的方法数为$C_{3}^2\times3=3\times3 = 9$种。

步骤三：根据古典概型概率公式计算概率

古典概型概率公式为$P(A)=\frac{m}{n}$，其中$n$是基本事件总数，$m$是事件$A$所包含的基本事件数。
设“指定的房间中恰有$2$人”为事件$A$，则$n = 64$，$m = 9$，所以$P(A)=\frac{9}{64}$。