求微分方程 y'' + 4y' + 4y = 0 满足 y(0) = 2，y'(0) = -4 的特解

我们来求解下面这个二阶常系数齐次线性微分方程的初值问题：

$y'' + 4y' + 4y = 0, \quad y(0) = 2, \quad y'(0) = -4$

第一步：写出特征方程

对于形如 $ y'' + 4y' + 4y = 0 $ 的微分方程，我们先求其对应的特征方程：

$r^2 + 4r + 4 = 0$

这是一个二次方程，我们来解它：

$r = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{0}}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

所以，特征方程有一个重根：$ r = -2 $（二重根）

第二步：写出通解

当特征方程有重根 $ r = -2 $ 时，微分方程的通解为：

$y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{-2x}$

其中 $ C_1 $、$ C_2 $ 是待定常数。

第三步：求导以便代入初值条件

我们还需要 $ y'(x) $，用于代入 $ y'(0) = -4 $。

对 $ y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{-2x} $ 求导，使用乘积法则：

$y'(x) = \frac{d}{dx}[(C_1 + C_2 x)] \cdot e^{-2x} + (C_1 + C_2 x) \cdot \frac{d}{dx}[e^{-2x}]$

$= C_2 \cdot e^{-2x} + (C_1 + C_2 x) \cdot (-2e^{-2x})$

$= C_2 e^{-2x} - 2(C_1 + C_2 x) e^{-2x}$

$= \left[ C_2 - 2C_1 - 2C_2 x \right] e^{-2x}$

第四步：代入初值条件

1. 代入 $ x = 0 $，$ y(0) = 2 $

$y(0) = (C_1 + C_2 \cdot 0) e^{0} = C_1 = 2$

所以：
$C_1 = 2$

2. 代入 $ x = 0 $，$ y'(0) = -4 $

$y'(0) = \left[ C_2 - 2C_1 - 2C_2 \cdot 0 \right] e^{0} = C_2 - 2C_1$

代入 $ C_1 = 2 $，得：

$C_2 - 2 \cdot 2 = -4 \Rightarrow C_2 - 4 = -4 \Rightarrow C_2 = 0$

第五步：写出特解

将 $ C_1 = 2 $，$ C_2 = 0 $ 代入通解：

$y(x) = (2 + 0 \cdot x) e^{-2x} = 2e^{-2x}$

最终答案：

$\boxed{y(x) = 2e^{-2x}}$

这是满足初值条件 $ y(0) = 2 $、$ y'(0) = -4 $ 的特解。