例1 设总体X的分布律为 X=1 =(theta )^2, X=2 =2theta (1-theta ) X=3 =(1--|||-(theta ))^2, 其中θ为未知参数现得到一组样本观测值1,2,1,3,2,求θ的矩估计量和矩-|||-估计值.

步骤 1：计算总体的一阶原点矩E(X)
根据题目给出的分布律，总体的一阶原点矩E(X)可以表示为：
$$E(X) = 1 \times P\{X=1\} + 2 \times P\{X=2\} + 3 \times P\{X=3\}$$
将分布律代入，得到：
$$E(X) = 1 \times \theta^2 + 2 \times 2\theta(1-\theta) + 3 \times (1-\theta)^2$$
化简得到：
$$E(X) = \theta^2 + 4\theta(1-\theta) + 3(1-\theta)^2$$
$$E(X) = \theta^2 + 4\theta - 4\theta^2 + 3 - 6\theta + 3\theta^2$$
$$E(X) = 3 - 2\theta$$
步骤 2：计算样本的一阶原点矩$\overline{X}$
根据题目给出的样本观测值1,2,1,3,2，计算样本的一阶原点矩$\overline{X}$：
$$\overline{X} = \frac{1+2+1+3+2}{5} = \frac{9}{5} = 1.8$$
步骤 3：求解θ的矩估计量
根据矩估计的方法，总体的一阶原点矩E(X)可以由样本的一阶原点矩$\overline{X}$进行矩估计，即$E(X) = \overline{X}$。将步骤1中得到的E(X)代入，得到：
$$3 - 2\theta = \overline{X}$$
解得参数θ的矩估计量为：
$$\hat{\theta} = \frac{3 - \overline{X}}{2}$$
步骤 4：求解θ的矩估计值
将步骤2中得到的$\overline{X} = 1.8$代入步骤3中得到的矩估计量公式，得到参数θ的矩估计值：
$$\hat{\theta} = \frac{3 - 1.8}{2} = 0.6$$