3、单选 设总体X服从指数分布，f(x)=}lambda e^-lambda x,x>00,其他，λ的极大似然估计

本题考查指数分布中未知参数λ的矩估计和极大似然估计的计算，需分别运用矩估计法和极大似然估计法求解。

一、矩估计法

矩估计的核心思想是用样本矩估计总体矩。对于指数分布，首先计算总体的一阶原点矩（即期望）：
指数分布的概率密度函数为 $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\ (x>0)$，其期望 $E(X)$ 为：
$E(X) = \int_{0}^{\infty} x \cdot \lambda e^{-\lambda x} dx$
利用分部积分法计算积分：
设 $u=x$，$dv=\lambda e^{-\lambda x}dx$，则 $du=dx$，$v=-e^{-\lambda x}$，
$E(X) = \left[ -x e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda x} dx = 0 + \left[ -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} = \frac{1}{\lambda}$
根据矩估计，用样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ 估计总体期望 $E(X)$，即：
$\overline{X} \approx \frac{1}{\lambda} \implies \hat{\lambda} = \frac{1}{\overline{X}}$

二、极大似然估计法

极大似然估计的核心思想是构造似然函数并求其最大值。对于样本 $X_1,X_2,\cdots,X_n$，似然函数 $L(\lambda)$ 为各样本密度函数的乘积：
$L(\lambda) = \prod_{i=1}^n f(X_i) = \prod_{i=1}^n \lambda e^{-\lambda X_i} = \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^n X_i}$
取对数得对数似然函数：
$\ln L(\lambda) = n\ln\lambda - \lambda \sum_{i=1}^n X_i$
对 $\lambda$ 求导并令导数为0：
$\frac{d}{d\lambda} \ln L(\lambda) = \frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^n X_i = 0$
解得：
$\lambda = \frac{n}{\sum_{i=1}^n X_i} = \frac{1}{\overline{X}}$

结论

矩估计和极大似然估计均为 $\hat{\lambda} = \frac{1}{\overline{X}}$，题目选项D不完整，但根据计算结果，正确表述应为“矩估计为$\hat{\lambda}=\frac{1}{\overline{X}}$，λ的极大似然估计为$\frac{1}{\overline{X}}$”。