4.利用极限存在准则证明:-|||-(3)数列 sqrt (2), sqrt (2+sqrt {2)} sqrt (2+sqrt {2+sqrt {2)}} 的极限存在;

考查要点：本题主要考查单调有界准则的应用，需要证明数列的单调性和有界性，从而得出极限存在。

解题核心思路：

1. 证明数列有界：通过数学归纳法，证明数列的每一项均小于2。
2. 证明数列单调递增：通过比较相邻项的大小，结合代数变形，说明数列递增。
3. 应用单调有界准则：结合上述两步，直接得出极限存在。

破题关键点：

• 数学归纳法的正确使用是证明有界性的关键。
• 单调性证明中，通过构造不等式或平方差变形，判断相邻项的大小关系。

证明数列有界

步骤1：数学归纳法基础
当 $n=1$ 时，$x_1 = \sqrt{2} < 2$，命题成立。

步骤2：归纳假设
假设当 $n=k$ 时，$x_k < 2$。

步骤3：递推证明
当 $n=k+1$ 时，
$x_{k+1} = \sqrt{2 + x_k} < \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2.$
因此，由数学归纳法可知，对所有正整数 $n$，均有 $x_n < 2$。

证明数列单调递增

步骤1：构造差值
考虑相邻两项的差：
$x_{n+1} - x_n = \sqrt{2 + x_n} - x_n.$

步骤2：判断差值符号
若能证明 $\sqrt{2 + x_n} > x_n$，则 $x_{n+1} > x_n$。
两边平方得：
$2 + x_n > x_n^2 \quad \Rightarrow \quad x_n^2 - x_n - 2 < 0.$
解二次不等式 $x_n^2 - x_n - 2 = 0$，根为 $x=2$ 和 $x=-1$，因此当 $-1 < x_n < 2$ 时，不等式成立。
由于数列有界且 $x_n > 0$，故 $0 < x_n < 2$，不等式恒成立，即 $\sqrt{2 + x_n} > x_n$，因此 $x_{n+1} > x_n$。

应用单调有界准则

数列 $\{x_n\}$ 单调递增且有上界 $2$，根据单调有界准则，极限存在。