题目
已知随机变量^6x)的联合分布函数为^6x),^6x)分别为关于X、Y的边缘分布函数,则下列选项中错误的为()A.^6x)B.对于任意固定的x,^6x)C.^6x)D.^6x)
已知随机变量
的联合分布函数为
,
分别为关于X、Y的边缘分布函数,则下列选项中错误的为()
A.
B.对于任意固定的x,
C.
D.
题目解答
答案
联合分布函数的性质:
,
X的边缘分布函数为
,
Y的边缘分布函数为
,对于任意固定的x,
,因此选择D。
解析
步骤 1:理解联合分布函数的性质
联合分布函数$F(x,y)$表示随机变量$X$和$Y$同时小于或等于$x$和$y$的概率。根据联合分布函数的性质,$F(-\infty,-\infty)=0$,$F(+\infty,+ \infty)=1$。边缘分布函数$F_x(x)$和$F_y(y)$分别表示随机变量$X$和$Y$小于或等于$x$和$y$的概率。
步骤 2:分析选项A
选项A表示$F(x,+\infty)={F}_{x}(x)$,即随机变量$X$小于或等于$x$的概率等于$X$的边缘分布函数$F_x(x)$。这是正确的,因为当$Y$的取值范围为$(-\infty,+\infty)$时,$F(x,+\infty)$就等于$X$的边缘分布函数$F_x(x)$。
步骤 3:分析选项B
选项B表示对于任意固定的$x$,$F(x,-\infty)=0$。这是正确的,因为当$Y$的取值范围为$(-\infty,-\infty)$时,$F(x,-\infty)$表示随机变量$X$和$Y$同时小于或等于$x$和$-\infty$的概率,而$Y$不可能小于$-\infty$,所以$F(x,-\infty)=0$。
步骤 4:分析选项C
选项C表示$F(+\infty,y)={F}_{y}(y)$,即随机变量$Y$小于或等于$y$的概率等于$Y$的边缘分布函数$F_y(y)$。这是正确的,因为当$X$的取值范围为$(-\infty,+\infty)$时,$F(+\infty,y)$就等于$Y$的边缘分布函数$F_y(y)$。
步骤 5:分析选项D
选项D表示$F(-\infty,-\infty)=1$。这是错误的,因为根据联合分布函数的性质,$F(-\infty,-\infty)=0$,而不是$1$。
联合分布函数$F(x,y)$表示随机变量$X$和$Y$同时小于或等于$x$和$y$的概率。根据联合分布函数的性质,$F(-\infty,-\infty)=0$,$F(+\infty,+ \infty)=1$。边缘分布函数$F_x(x)$和$F_y(y)$分别表示随机变量$X$和$Y$小于或等于$x$和$y$的概率。
步骤 2:分析选项A
选项A表示$F(x,+\infty)={F}_{x}(x)$,即随机变量$X$小于或等于$x$的概率等于$X$的边缘分布函数$F_x(x)$。这是正确的,因为当$Y$的取值范围为$(-\infty,+\infty)$时,$F(x,+\infty)$就等于$X$的边缘分布函数$F_x(x)$。
步骤 3:分析选项B
选项B表示对于任意固定的$x$,$F(x,-\infty)=0$。这是正确的,因为当$Y$的取值范围为$(-\infty,-\infty)$时,$F(x,-\infty)$表示随机变量$X$和$Y$同时小于或等于$x$和$-\infty$的概率,而$Y$不可能小于$-\infty$,所以$F(x,-\infty)=0$。
步骤 4:分析选项C
选项C表示$F(+\infty,y)={F}_{y}(y)$,即随机变量$Y$小于或等于$y$的概率等于$Y$的边缘分布函数$F_y(y)$。这是正确的,因为当$X$的取值范围为$(-\infty,+\infty)$时,$F(+\infty,y)$就等于$Y$的边缘分布函数$F_y(y)$。
步骤 5:分析选项D
选项D表示$F(-\infty,-\infty)=1$。这是错误的,因为根据联合分布函数的性质,$F(-\infty,-\infty)=0$,而不是$1$。