题目
某工厂采用新法处理废水 ，对处理后的水测量所含某种有毒物质的浓度得到 10 个 数据，测得样本均值17.1， 样本 方差 9 ，而以往用老方法处理废水后 ，该种物质的平均 浓度 19， 问新法是否比老方法好？假设显著性水平alpha =0.05，有毒物质浓度alpha =0.05
某工厂采用新法处理废水 ，对处理后的水测量所含某种有毒物质的浓度得到 10 个 数据，测得样本均值17.1， 样本 方差 9 ，而以往用老方法处理废水后 ，该种物质的平均 浓度 19， 问新法是否比老方法好？假设显著性水平
，有毒物质浓度
题目解答
答案
解：由题意可设假设为
由于方差未知，选择t检验法，检验统计量
拒绝域为
因此接受
，可以认为在下，新方法效果好。
解析
步骤 1：设定假设
根据题意，我们设定原假设$H_0$和备择假设$H_1$。原假设$H_0$表示新方法处理废水后有毒物质的平均浓度不低于老方法，即$\mu \leqslant 19$。备择假设$H_1$表示新方法处理废水后有毒物质的平均浓度低于老方法，即$\mu < 19$。
步骤 2：选择检验统计量
由于方差未知，我们选择t检验统计量。t检验统计量的计算公式为$t = \dfrac{\overline{X} - \mu}{s / \sqrt{n}}$，其中$\overline{X}$是样本均值，$\mu$是假设的总体均值，$s$是样本标准差，$n$是样本容量。
步骤 3：计算检验统计量
根据题目给出的数据，样本均值$\overline{X} = 17.1$，样本方差$s^2 = 9$，样本容量$n = 10$，假设的总体均值$\mu = 19$。将这些值代入t检验统计量的计算公式，得到$t = \dfrac{17.1 - 19}{3 / \sqrt{10}} = -2.0028$。
步骤 4：确定拒绝域
根据显著性水平$\alpha = 0.05$和自由度$n - 1 = 9$，查t分布表得到t分布的临界值$t_{0.05}(9) = 1.8331$。由于备择假设是单侧检验，拒绝域为$t < -1.8331$。
步骤 5：做出决策
将计算得到的检验统计量$t = -2.0028$与临界值$t_{0.05}(9) = 1.8331$进行比较，由于$-2.0028 < -1.8331$，检验统计量落在拒绝域内，因此拒绝原假设$H_0$，接受备择假设$H_1$。
根据题意，我们设定原假设$H_0$和备择假设$H_1$。原假设$H_0$表示新方法处理废水后有毒物质的平均浓度不低于老方法，即$\mu \leqslant 19$。备择假设$H_1$表示新方法处理废水后有毒物质的平均浓度低于老方法，即$\mu < 19$。
步骤 2：选择检验统计量
由于方差未知，我们选择t检验统计量。t检验统计量的计算公式为$t = \dfrac{\overline{X} - \mu}{s / \sqrt{n}}$，其中$\overline{X}$是样本均值，$\mu$是假设的总体均值，$s$是样本标准差，$n$是样本容量。
步骤 3：计算检验统计量
根据题目给出的数据，样本均值$\overline{X} = 17.1$，样本方差$s^2 = 9$，样本容量$n = 10$，假设的总体均值$\mu = 19$。将这些值代入t检验统计量的计算公式，得到$t = \dfrac{17.1 - 19}{3 / \sqrt{10}} = -2.0028$。
步骤 4：确定拒绝域
根据显著性水平$\alpha = 0.05$和自由度$n - 1 = 9$，查t分布表得到t分布的临界值$t_{0.05}(9) = 1.8331$。由于备择假设是单侧检验，拒绝域为$t < -1.8331$。
步骤 5：做出决策
将计算得到的检验统计量$t = -2.0028$与临界值$t_{0.05}(9) = 1.8331$进行比较，由于$-2.0028 < -1.8331$，检验统计量落在拒绝域内，因此拒绝原假设$H_0$，接受备择假设$H_1$。