题目
下列哪些选项可以得到随机变量X与Y相互独立（ ）。A. 分布函数满足F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)B. 密度函数满足f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)C. 特征函数满足psi_(X+Y)(t)=psi_X(t)psi_Y(t)D. 协方差满足Cov(X,Y)=0E. 相关系数满足rho_(XY)=0
下列哪些选项可以得到随机变量X与Y相互独立（ ）。
A. 分布函数满足$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$
B. 密度函数满足$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$
C. 特征函数满足$\psi_{X+Y}(t)=\psi_X(t)\psi_Y(t)$
D. 协方差满足$\Cov(X,Y)=0$
E. 相关系数满足$\rho_{XY}=0$
题目解答
答案
AB
A. 分布函数满足$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$
B. 密度函数满足$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$
A. 分布函数满足$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$
B. 密度函数满足$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$
解析
独立随机变量的判断是概率论中的核心概念。本题考查独立随机变量的充要条件及其相关性质。关键点在于：
- 分布函数或密度函数的乘积形式直接反映独立性；
- 特征函数的乘积形式与独立性的关系；
- 协方差和相关系数为零仅说明不相关，而非独立。
核心思路：
- 独立性的充要条件是联合分布（或密度）函数等于边缘分布（或密度）函数的乘积；
- 特征函数的乘积形式需结合联合特征函数，而非单一和的特征函数；
- 不相关是独立的必要但不充分条件。
选项A
分布函数满足$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$
根据独立性的定义，若两个随机变量$X$和$Y$的联合分布函数等于各自边缘分布函数的乘积，则它们相互独立。因此，选项A正确。
选项B
密度函数满足$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$
对于连续型随机变量，独立性的充要条件是联合密度函数等于边缘密度函数的乘积。因此，选项B正确。
选项C
特征函数满足$\psi_{X+Y}(t)=\psi_X(t)\psi_Y(t)$
虽然独立随机变量的和的特征函数等于各自特征函数的乘积，但反之不成立。仅通过和的特征函数的乘积形式无法唯一推出独立性，可能存在非独立变量满足此条件。因此，选项C错误。
选项D
协方差满足$\Cov(X,Y)=0$
协方差为零仅说明$X$和$Y$不相关，但不相关不一定独立（例如，某些非线性相关关系）。因此，选项D错误。
选项E
相关系数满足$\rho_{XY}=0$
相关系数为零同样仅说明不相关，与选项D同理，不能保证独立性。因此，选项E错误。