卡车装运水泥，设每袋水泥重量X(以公斤计)服从N(50,2(.5)^2)，问最多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05.

本题考查正态分布的性质以及独立同分布的中心极限定理的应用。解题的关键思路是先根据已知条件确定每袋水泥重量的分布，再利用独立同分布的性质求出总重量的分布，最后结合概率要求建立不等式求解。

1. 确定每袋水泥重量的分布：
   已知每袋水泥重量$X$服从$N(50,2.5^{2})$，即$X\sim N(50,2.5^{2})$，设至多能装运$n$袋水泥，各袋水泥的重量分别为$X_1,X_2,\cdots,X_n$，则$X_i\sim N(50,2.5^{2})$，$i = 1,2,\cdots,n$。
2. 计算总重量的期望和方差：
   卡车所装运水泥的总重量$W = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$。
   因为$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立，根据期望和方差的性质：若$X_i$相互独立，$E(X_i)=\mu$，$D(X_i)=\sigma^2$，则$E(\sum_{i = 1}^{n}X_i)=n\mu$，$D(\sum_{i = 1}^{n}X_i)=n\sigma^2$。
   这里$\mu = 50$，$\sigma^2 = 2.5^{2}$，所以$E(W)=50n$，$D(W)=2.5^{2}n$，那么$W\sim N(50n,2.5^{2}n)$。
3. 根据概率要求建立不等式：
   按题意$n$需满足$P\{W\gt 2000\} \leq 0.05$。
   为了计算$P\{W\gt 2000\}$，我们对$W$进行标准化，令$Z=\frac{W - E(W)}{\sqrt{D(W)}}=\frac{W - 50n}{2.5\sqrt{n}}$，则$Z\sim N(0,1)$。
   所以$P\{W\gt 2000\}=P\left\{\frac{W - 50n}{2.5\sqrt{n}}\gt\frac{2000 - 50n}{2.5\sqrt{n}}\right\}=1 - \varPhi\left(\frac{2000 - 50n}{2.5\sqrt{n}}\right)$，其中$\varPhi(z)$是标准正态分布$N(0,1)$的分布函数。
   由$P\{W\gt 2000\} \leq 0.05$可得$1 - \varPhi\left(\frac{2000 - 50n}{2.5\sqrt{n}}\right) \leq 0.05$，即$\varPhi\left(\frac{2000 - 50n}{2.5\sqrt{n}}\right) \geq 0.95$。
   查标准正态分布表可知$\varPhi(1.645)=0.95$，所以$\frac{2000 - 50n}{2.5\sqrt{n}} \geq 1.645$。
4. 求解不等式：
   设$\sqrt{n}=t$（$t\gt0$），则不等式$\frac{2000 - 50n}{2.5\sqrt{n}} \geq 1.645$可化为$\frac{2000 - 50t^2}{2.5t} \geq 1.645$。
   不等式两边同时乘以$2.5t$得$2000 - 50t^2 \geq 1.645\times2.5t$，即$50t^2 + 4.1125t - 2000 \leq 0$。
   对于一元二次方程$at^2 + bt + c = 0$（$a = 50$，$b = 4.1125$，$c = -2000$），其求根公式为$t=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
   则$t=\frac{-4.1125\pm\sqrt{4.1125^2 - 4\times50\times(-2000)}}{2\times50}$。
   先计算$\sqrt{4.1125^2 - 4\times50\times(-2000)}=\sqrt{16.91265625 + 400000}=\sqrt{400016.91265625}\approx632.47$。
   所以$t_1=\frac{-4.1125 + 632.47}{100}\approx6.2836$，$t_2=\frac{-4.1125 - 632.47}{100}\lt0$（舍去）。
   因为$t=\sqrt{n}\leq6.2836$，两边同时平方得$n\leq6.2836^2\approx39.483$。
   由于$n$为袋数，必须为整数，所以$n$至多取$39$。