题目

单选题（共14题，68.0分）1. (6.0分) (6分)设A,B均为n阶方阵,满足AB=0, 则().A A=B=0B A+B=0C |A|=0或|B|=0D |A|+|B|=0

单选题（共14题，68.0分） 1. (6.0分) (6分)设A,B均为n阶方阵,满足AB=0, 则(). A A=B=0 B A+B=0 C |A|=0或|B|=0 D |A|+|B|=0

题目解答

答案

设 $A$、$B$ 均为 $n$ 阶方阵，满足 $AB = 0$。
选项分析：
A. $A = B = 0$：

  • 虽然 $A = B = 0$ 满足条件，但 $AB = 0$ 时 $A$ 或 $B$ 可以非零（如 $A$ 非零且 $B$ 的列向量与 $A$ 的行向量正交），故不成立。

B. $A + B = 0$：

  • 若 $A + B = 0$，则 $B = -A$，代入得 $A(-A) = -A^2 = 0$，即 $A^2 = 0$。
  • 但 $A^2 = 0$ 不是 $AB = 0$ 的必要条件，故不成立。

C. $|A| = 0$ 或 $|B| = 0$：

  • 由 $AB = 0$，得 $|AB| = |A||B| = 0$，故 $|A| = 0$ 或 $|B| = 0$，即至少一个矩阵奇异，成立。

D. $|A| + |B| = 0$：

  • $|A| + |B| = 0$ 可能成立（如 $|A| = 0$，$|B| = 0$），但不一定（如 $|A| = 1$，$|B| = -1$ 时 $AB \neq 0$），故不成立。

答案： $\boxed{C}$

解析

本题考查方阵乘法、行列式的性质以及矩阵为零矩阵的相关知识。解题的关键在于利用方阵行列式的性质，即对于两个$n$阶方阵$A$和$B$，有$\vert AB\vert=\vert A\vert\vert B\vert$，结合已知条件$AB = 0$来分析各个选项。

  1. 分析选项A：
    • 虽然当$A = B = 0$时，$AB = 0$成立，但$AB = 0$并不一定意味着$A$和$B$都必须为零矩阵。
    • 例如，设$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$，则$AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$，此时$A$和$B$都不为零矩阵。所以选项A不成立。
  2. 分析选项B：
    • 若$A + B = 0$，则$B = -A$。
    • 将$B = -A$代入$AB = 0$中，得到$A(-A)=-A^{2}=0$，即$A^{2}=0$。
    • 然而，$A^{2}=0$并不是$AB = 0$的必要条件。例如，设$A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，$AB=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$，但$A^{2}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$不成立。所以选项B不成立。
  3. 分析选项C：
    • 已知$AB = 0$，根据方阵行列式的性质$\vert AB\vert=\vert A\vert\vert B\vert$，可得$\vert AB\vert = 0$，即$\vert A\vert\vert B\vert = 0$。
    • 根据乘法的性质，若两个数的乘积为$0$，则至少其中一个数为$0$，所以$\vert A\vert = 0$或$\vert B\vert = 0$。所以选项C成立。
  4. 分析选项D：
    • $|A| + |B| = 0$可能成立，比如$|A| = 0$且$|B| = 0$时满足。
    • 但这不是必然的，例如，设$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}$，$\vert A\vert = 1$，$\vert B\vert = 1$，$\vert A\vert+\vert B\vert=2\neq0$，且$AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}\neq0$。所以选项D不成立。