题目
某单位要估计平均每天职工的总医疗费，观察了30天，其总金额的平均值是170元，标准差为30元，试决定职工每天总医疗费用平均值的区间估计(置信水平为0.95).
某单位要估计平均每天职工的总医疗费，观察了30天，其总金额的平均值是170元，标准差为30元，试决定职工每天总医疗费用平均值的区间估计(置信水平为0.95).
题目解答
答案
为了确定职工每天总医疗费用平均值的区间估计，我们需要使用置信区间公式。置信区间是根据样本数据计算出的、以一定概率包含总体参数的数值范围。在这个问题中，总体参数是职工每天总医疗费用的平均值。
置信区间公式为:
\[
\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}
\]
其中:
- $\bar{x}$ 是样本均值
- $z_{\alpha/2}$ 是与置信水平相对应的z值
- $s$ 是样本标准差
- $n$ 是样本大小
在这个问题中:
- $\bar{x} = 170$ 元
- $s = 30$ 元
- $n = 30$
- 置信水平为0.95，因此 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$，对应的 $z_{0.025} = 1.96$
将这些值代入公式，我们得到:
\[
170 \pm 1.96 \frac{30}{\sqrt{30}}
\]
首先计算 $\frac{30}{\sqrt{30}}$:
\[
\frac{30}{\sqrt{30}} = \frac{30}{5.477} \approx 5.477
\]
然后计算 $1.96 \times 5.477$:
\[
1.96 \times 5.477 \approx 10.73
\]
因此，置信区间为:
\[
170 \pm 10.73
\]
这表示职工每天总医疗费用平均值的区间估计是:
\[
(170 - 10.73, 170 + 10.73) = (159.27, 180.73)
\]
所以，职工每天总医疗费用平均值的区间估计是 $\boxed{(159.27, 180.73)}$。
解析
本题考查总体均值的区间估计知识点。解题思路如下：
- 明确本题是要根据样本数据来估计总体均值的区间，由于总体标准差未知，样本量$n = 30$（一般认为$n\geq30$时，可用样本标准差$s$近似代替总体标准差$\sigma$），所以使用$z$分布来构建置信区间。
- 确定置信区间的计算公式为$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}$，其中$\bar{x}$是样本均值，$z_{\alpha/2}$是与置信水平相对应的$z$值，$s$是样本标准差，$n$是样本大小。
- 从题目中获取已知条件：样本均值$\bar{x} = 170$元，样本标准差$s = 30$元，样本大小$n = 30$，置信水平为$0.95$。
- 根据置信水平计算$\alpha$和$\alpha/2$的值：
- 已知置信水平为$0.95$，根据$\alpha = 1 - \text{置信水平}$，可得$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。
- 那么$\alpha/2 = 0.05\div2 = 0.025$。
- 查找与$\alpha/2 = 0.025$对应的$z$值，即$z_{0.025}$，通过标准正态分布表可知$z_{0.025} = 1.96$。
- 将已知值代入置信区间公式进行计算：
- 先计算$\frac{s}{\sqrt{n}}$的值，$\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{30}{\sqrt{30}}$，$\sqrt{30}\approx5.477$，所以$\frac{30}{\sqrt{30}}=\frac{30}{5.477}\approx5.477$。
- 再计算$z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}$的值，$z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}} = 1.96\times5.477\approx10.73$。
- 最后计算置信区间：
- 置信区间下限为$\bar{x}-z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}} = 170 - 10.73 = 159.27$。
- 置信区间上限为$\bar{x}+z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}} = 170 + 10.73 = 180.73$。
- 所以置信区间为$(159.27, 180.73)$。