四、试确定常数a、b之值,使函数 f(x)= ) b(1+sin x)+a+2,xgeqslant 0 (e)^ax-1,xlt 0 . 处处可导。

关键思路：
要使分段函数$f(x)$在$x=0$处可导，必须满足两个条件：

1. 连续性：函数在$x=0$处连续，即左右极限相等且等于$f(0)$；
2. 可导性：左右导数在$x=0$处相等。

破题关键：

• 连续性条件：通过计算$x \to 0^-$和$x \to 0^+$时的极限，建立方程；
• 可导性条件：分别求左右导数，令其相等，得到第二个方程；
• 联立方程求解$a$和$b$的值。

步骤1：验证连续性

当$x \to 0^-$时，$f(x) = e^{a x} - 1$，极限为：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = e^{0} - 1 = 0.$
当$x \to 0^+$时，$f(x) = b(1 + \sin x) + a + 2$，极限为：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = b(1 + 0) + a + 2 = b + a + 2.$
连续性要求左右极限相等且等于$f(0)$，即：
$b + a + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad a + b = -2. \quad (1)$

步骤2：求左右导数

• 左导数（$x \to 0^-$）：
  $f(x) = e^{a x} - 1$，导数为$f'(x) = a e^{a x}$，在$x=0$处：
  $f'_-(0) = a e^{0} = a.$
• 右导数（$x \to 0^+$）：
  $f(x) = b(1 + \sin x) + a + 2$，导数为$f'(x) = b \cos x$，在$x=0$处：
  $f'_+(0) = b \cos 0 = b.$
  可导性要求左右导数相等：
  $a = b. \quad (2)$

步骤3：联立方程

联立方程$(1)$和$(2)$：
$\begin{cases}a + b = -2, \\a = b.\end{cases}$
代入$a = b$到$a + b = -2$中，得：
$2a = -2 \quad \Rightarrow \quad a = -1, \quad b = -1.$