题目
四、试确定常数a、b之值,使函数 f(x)= ) b(1+sin x)+a+2,xgeqslant 0 (e)^ax-1,xlt 0 . 处处可导。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数在x=0处连续
为了使函数在x=0处连续，需要满足$\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^+}f(x)=f(0)$。对于x<0，函数为${e}^{ax}-1$，当x趋近于0时，${e}^{ax}-1$趋近于0。对于x≥0，函数为$b(1+\sin x)+a+2$，当x=0时，函数值为$b(1+\sin 0)+a+2=b+a+2$。因此，为了使函数在x=0处连续，需要$b+a+2=0$。
步骤 2：确定函数在x=0处可导
为了使函数在x=0处可导，需要满足$\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x}$。对于x<0，函数为${e}^{ax}-1$，当x趋近于0时，$\frac{{e}^{ax}-1}{x}$趋近于a。对于x≥0，函数为$b(1+\sin x)+a+2$，当x趋近于0时，$\frac{b(1+\sin x)+a+2-(b+a+2)}{x}=\frac{b\sin x}{x}$趋近于b。因此，为了使函数在x=0处可导，需要a=b。
步骤 3：求解a和b的值
根据步骤1和步骤2，我们得到两个方程：$b+a+2=0$和$a=b$。将$a=b$代入$b+a+2=0$，得到$2b+2=0$，解得$b=-1$。因此，$a=b=-1$。
为了使函数在x=0处连续，需要满足$\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^+}f(x)=f(0)$。对于x<0，函数为${e}^{ax}-1$，当x趋近于0时，${e}^{ax}-1$趋近于0。对于x≥0，函数为$b(1+\sin x)+a+2$，当x=0时，函数值为$b(1+\sin 0)+a+2=b+a+2$。因此，为了使函数在x=0处连续，需要$b+a+2=0$。
步骤 2：确定函数在x=0处可导
为了使函数在x=0处可导，需要满足$\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x}$。对于x<0，函数为${e}^{ax}-1$，当x趋近于0时，$\frac{{e}^{ax}-1}{x}$趋近于a。对于x≥0，函数为$b(1+\sin x)+a+2$，当x趋近于0时，$\frac{b(1+\sin x)+a+2-(b+a+2)}{x}=\frac{b\sin x}{x}$趋近于b。因此，为了使函数在x=0处可导，需要a=b。
步骤 3：求解a和b的值
根据步骤1和步骤2，我们得到两个方程：$b+a+2=0$和$a=b$。将$a=b$代入$b+a+2=0$，得到$2b+2=0$，解得$b=-1$。因此，$a=b=-1$。