5,设X1,X2,···,Nn是来自总体X1,X2,···,Nn的简单随机样本,则下列关于X1,X2,···,Nn的无偏估计( )更有效.(A) X1,X2,···,Nn(B)X1,X2,···,NnC)X1,X2,···,NnD)X1,X2,···,Nn
5,设
是来自总体
的简单随机样本,则下列关于
的无偏估计( )更有效.
(A) 
(B)
C)
D)
题目解答
答案
估计量
期望：
估计量
期望：
= 
估计量
期望：
= 
估计量
期望：
= 
结论：
所有四个估计量 
都是无偏估计，因为它们的期望均为
。因此，我们要比较它们的方差来确定哪一个更有效。
由于方差的计算比较复杂，但是通过观察系数的大小可以推测，通常系数越大的估计量方差越小（即效率更高），因此可以看出
比其他三个估计量的系数小，因此其方差可能较小，从而是更有效的估计量。
因此，答案是：
解析
考查要点：本题主要考查无偏估计量的有效性比较，涉及正态总体下线性组合估计量的方差计算。
解题核心思路：
- 无偏性验证：所有选项均为μ的无偏估计，因为每个估计量的期望均为μ。
- 有效性判断：在无偏条件下，方差更小的估计量更有效。计算各选项的方差，比较系数平方和的大小。
破题关键点：
- 方差公式：对于线性组合$\hat{\mu} = aX_1 + bX_2 + cX_3$，方差为$(a^2 + b^2 + c^2)\sigma^2$。
- 系数平方和：系数平方和越小，方差越小，估计量越有效。
选项分析
选项A
系数为$\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{2}{5}$，系数平方和为：
$\left(\frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{2}{5}\right)^2 + \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{1 + 4 + 4}{25} = \frac{9}{25}$
方差为$\frac{9}{25}\sigma^2$。
选项B
系数为$\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}$，系数平方和为：
$3 \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{3}$
方差为$\frac{1}{3}\sigma^2$。
选项C（未明确给出，但根据分析）
假设系数平方和大于$\frac{1}{3}$，方差更大。
选项D
系数为$\frac{1}{7}, \frac{3}{7}, \frac{3}{7}$，系数平方和为：
$\left(\frac{1}{7}\right)^2 + 2 \times \left(\frac{3}{7}\right)^2 = \frac{1 + 18}{49} = \frac{19}{49}$
方差为$\frac{19}{49}\sigma^2$。
比较方差
- 选项B的系数平方和最小（$\frac{1}{3} \approx 0.333$），方差最小，因此最有效。