题目
假定两种不同工艺下的产品X、Y服从正态分布((mu )_(1),(sigma )^2) i=1 2，且X、Y相互独立，随机选取各十个样本：((mu )_(1),(sigma )^2) i=1 2，令((mu )_(1),(sigma )^2) i=1 2,证明((mu )_(1),(sigma )^2) i=1 2服从t分布。
假定两种不同工艺下的产品X、Y服从正态分布
，且X、Y相互独立，随机选取各十个样本：
，令
,
证明
服从t分布。
题目解答
答案
因为
，
，由t分布的定义，
解析
步骤 1：确定样本均值的分布
由于X和Y分别服从正态分布N(μ1,σ^2)，且X、Y相互独立，因此样本均值$\overline{X}$和$\overline{Y}$也服从正态分布。具体地，$\overline{X}\sim N(\mu_1, \frac{\sigma^2}{10})$，因为样本均值的方差是总体方差除以样本量。
步骤 2：确定Q的分布
$Q=\sum _{i=1}^{10}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}+\sum _{i=1}^{10}{({Y}_{i}-\overline {Y})}^{2}$是两个独立样本的方差和，根据卡方分布的性质，$\frac{Q}{\sigma^2}$服从自由度为18的卡方分布，即$\frac{Q}{\sigma^2}\sim \chi^2(18)$。
步骤 3：构造t分布
根据t分布的定义，如果$Z\sim N(0,1)$，$U\sim \chi^2(n)$，且Z和U独立，则$T=\frac{Z}{\sqrt{U/n}}$服从自由度为n的t分布。在本题中，$\overline{X}-\mu_1$可以看作是标准正态分布的随机变量，而$\frac{Q}{\sigma^2}$是卡方分布的随机变量，因此$T=\frac{\sqrt{180}(\overline{X}-\mu_1)}{\sqrt{Q}}$服从自由度为18的t分布。
由于X和Y分别服从正态分布N(μ1,σ^2)，且X、Y相互独立，因此样本均值$\overline{X}$和$\overline{Y}$也服从正态分布。具体地，$\overline{X}\sim N(\mu_1, \frac{\sigma^2}{10})$，因为样本均值的方差是总体方差除以样本量。
步骤 2：确定Q的分布
$Q=\sum _{i=1}^{10}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}+\sum _{i=1}^{10}{({Y}_{i}-\overline {Y})}^{2}$是两个独立样本的方差和，根据卡方分布的性质，$\frac{Q}{\sigma^2}$服从自由度为18的卡方分布，即$\frac{Q}{\sigma^2}\sim \chi^2(18)$。
步骤 3：构造t分布
根据t分布的定义，如果$Z\sim N(0,1)$，$U\sim \chi^2(n)$，且Z和U独立，则$T=\frac{Z}{\sqrt{U/n}}$服从自由度为n的t分布。在本题中，$\overline{X}-\mu_1$可以看作是标准正态分布的随机变量，而$\frac{Q}{\sigma^2}$是卡方分布的随机变量，因此$T=\frac{\sqrt{180}(\overline{X}-\mu_1)}{\sqrt{Q}}$服从自由度为18的t分布。