题目
5.设f(x),g(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且 (int )_(0)^1f(x)dx=3(int )_(dfrac {2)(3)}^1f(x)dx,-|||-试证存在ξ, in (0,1), 使得 '(xi )=g'(xi )[ f(eta )-f(xi )] .
题目解答
答案
解析
步骤 1：利用积分中值定理
由条件 ${\int }_{0}^{1}f(x)dx=3{\int }_{\dfrac {2}{3}}^{1}f(x)dx$，可以得到 ${\int }_{0}^{1}f(x)dx-3{\int }_{\dfrac {2}{3}}^{1}f(x)dx=0$。根据积分中值定理，存在 $c_1 \in (0, \frac{2}{3})$ 和 $c_2 \in (\frac{2}{3}, 1)$，使得 ${\int }_{0}^{1}f(x)dx = f(c_1)$ 和 ${\int }_{\dfrac {2}{3}}^{1}f(x)dx = f(c_2)$。因此，$f(c_1) = 3f(c_2)$。
步骤 2：构造辅助函数
构造辅助函数 $F(x) = e^{-\int_0^x g(t)dt} [f(x) - f(c_2)]$。由于 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，所以 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导。
步骤 3：应用罗尔定理
由于 $F(c_1) = e^{-\int_0^{c_1} g(t)dt} [f(c_1) - f(c_2)] = e^{-\int_0^{c_1} g(t)dt} [3f(c_2) - f(c_2)] = 2f(c_2) e^{-\int_0^{c_1} g(t)dt}$，$F(c_2) = e^{-\int_0^{c_2} g(t)dt} [f(c_2) - f(c_2)] = 0$。因此，$F(c_1) = F(c_2)$。根据罗尔定理，存在 $\xi \in (c_1, c_2) \subset (0,1)$，使得 $F'(\xi) = 0$。
步骤 4：计算 $F'(\xi)$
$F'(x) = -g(x)e^{-\int_0^x g(t)dt} [f(x) - f(c_2)] + e^{-\int_0^x g(t)dt} f'(x)$。令 $F'(\xi) = 0$，得到 $-g(\xi)e^{-\int_0^\xi g(t)dt} [f(\xi) - f(c_2)] + e^{-\int_0^\xi g(t)dt} f'(\xi) = 0$。化简得到 $f'(\xi) = g(\xi) [f(\xi) - f(c_2)]$。令 $\eta = c_2$，则 $f'(\xi) = g'(\xi) [f(\eta) - f(\xi)]$。
由条件 ${\int }_{0}^{1}f(x)dx=3{\int }_{\dfrac {2}{3}}^{1}f(x)dx$，可以得到 ${\int }_{0}^{1}f(x)dx-3{\int }_{\dfrac {2}{3}}^{1}f(x)dx=0$。根据积分中值定理，存在 $c_1 \in (0, \frac{2}{3})$ 和 $c_2 \in (\frac{2}{3}, 1)$，使得 ${\int }_{0}^{1}f(x)dx = f(c_1)$ 和 ${\int }_{\dfrac {2}{3}}^{1}f(x)dx = f(c_2)$。因此，$f(c_1) = 3f(c_2)$。
步骤 2：构造辅助函数
构造辅助函数 $F(x) = e^{-\int_0^x g(t)dt} [f(x) - f(c_2)]$。由于 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，所以 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导。
步骤 3：应用罗尔定理
由于 $F(c_1) = e^{-\int_0^{c_1} g(t)dt} [f(c_1) - f(c_2)] = e^{-\int_0^{c_1} g(t)dt} [3f(c_2) - f(c_2)] = 2f(c_2) e^{-\int_0^{c_1} g(t)dt}$，$F(c_2) = e^{-\int_0^{c_2} g(t)dt} [f(c_2) - f(c_2)] = 0$。因此，$F(c_1) = F(c_2)$。根据罗尔定理，存在 $\xi \in (c_1, c_2) \subset (0,1)$，使得 $F'(\xi) = 0$。
步骤 4：计算 $F'(\xi)$
$F'(x) = -g(x)e^{-\int_0^x g(t)dt} [f(x) - f(c_2)] + e^{-\int_0^x g(t)dt} f'(x)$。令 $F'(\xi) = 0$，得到 $-g(\xi)e^{-\int_0^\xi g(t)dt} [f(\xi) - f(c_2)] + e^{-\int_0^\xi g(t)dt} f'(\xi) = 0$。化简得到 $f'(\xi) = g(\xi) [f(\xi) - f(c_2)]$。令 $\eta = c_2$，则 $f'(\xi) = g'(\xi) [f(\eta) - f(\xi)]$。