题目
设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．
（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
题目解答
答案
解：（1）方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的方程为：y=k（x-1），设A（x1，y1），B（x2，y2），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：k2x2-2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$，x1x2=1，
由|AB|=x1+x2+p=$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$+2=8，解得：k2=1，则k=1，
∴直线l的方程y=x-1；
方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{4}{si{n}^{2}θ}$=8，解得：sin2θ=$\frac{1}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{4}$，则直线的斜率k=1，
∴直线l的方程y=x-1；
（2）由（1）可得AB的中点坐标为D（3，2），则直线AB的垂直平分线方程为y-2=-（x-3），即y=-x+5，
设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=-{x}_{0}+5}\\{（{x}_{0}+1）^{2}=\frac{（{y}_{0}-{x}_{0}+1）^{2}}{2}+16}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=3}\\{{y}_{0}=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=11}\\{{y}_{0}=-6}\end{array}\right.$，
因此，所求圆的方程为（x-3）2+（y-2）2=16或（x-11）2+（y+6）2=144．
解析
步骤 1：确定抛物线的焦点和准线
抛物线C：y^{2}=4x的焦点为F（1，0），准线为x=-1。
步骤 2：设直线AB的方程
设直线AB的方程为y=k(x-1)，其中k>0。
步骤 3：联立直线和抛物线方程
联立直线方程y=k(x-1)和抛物线方程y^{2}=4x，得到k^{2}(x-1)^{2}=4x。
步骤 4：求解x的值
化简得到k^{2}x^{2}-(2k^{2}+4)x+k^{2}=0，根据韦达定理，x_1+x_2=$\frac{2k^{2}+4}{k^{2}}$，x_1x_2=1。
步骤 5：利用弦长公式求解k
根据弦长公式|AB|=x_1+x_2+p=$\frac{2k^{2}+4}{k^{2}}$+2=8，解得k^{2}=1，因此k=1。
步骤 6：写出直线方程
直线l的方程为y=x-1。
【答案】
直线l的方程为y=x-1。
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程
【解析】
步骤 1：确定AB的中点坐标
由（1）知，x_1+x_2=$\frac{2k^{2}+4}{k^{2}}$=6，因此AB的中点坐标为D（3，2）。
步骤 2：求AB的垂直平分线方程
AB的垂直平分线方程为y-2=-（x-3），即y=-x+5。
步骤 3：设圆心坐标并建立方程组
设所求圆的圆心坐标为（x_0，y_0），则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=-{x}_{0}+5}\\{（{x}_{0}+1）^{2}=\frac{（{y}_{0}-{x}_{0}+1）^{2}}{2}+16}\end{array}\right.$。
步骤 4：解方程组
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=3}\\{{y}_{0}=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=11}\\{{y}_{0}=-6}\end{array}\right.$。
步骤 5：写出圆的方程
因此，所求圆的方程为（x-3）^{2}+（y-2）^{2}=16或（x-11）^{2}+（y+6）^{2}=144。
抛物线C：y^{2}=4x的焦点为F（1，0），准线为x=-1。
步骤 2：设直线AB的方程
设直线AB的方程为y=k(x-1)，其中k>0。
步骤 3：联立直线和抛物线方程
联立直线方程y=k(x-1)和抛物线方程y^{2}=4x，得到k^{2}(x-1)^{2}=4x。
步骤 4：求解x的值
化简得到k^{2}x^{2}-(2k^{2}+4)x+k^{2}=0，根据韦达定理，x_1+x_2=$\frac{2k^{2}+4}{k^{2}}$，x_1x_2=1。
步骤 5：利用弦长公式求解k
根据弦长公式|AB|=x_1+x_2+p=$\frac{2k^{2}+4}{k^{2}}$+2=8，解得k^{2}=1，因此k=1。
步骤 6：写出直线方程
直线l的方程为y=x-1。
【答案】
直线l的方程为y=x-1。
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程
【解析】
步骤 1：确定AB的中点坐标
由（1）知，x_1+x_2=$\frac{2k^{2}+4}{k^{2}}$=6，因此AB的中点坐标为D（3，2）。
步骤 2：求AB的垂直平分线方程
AB的垂直平分线方程为y-2=-（x-3），即y=-x+5。
步骤 3：设圆心坐标并建立方程组
设所求圆的圆心坐标为（x_0，y_0），则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=-{x}_{0}+5}\\{（{x}_{0}+1）^{2}=\frac{（{y}_{0}-{x}_{0}+1）^{2}}{2}+16}\end{array}\right.$。
步骤 4：解方程组
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=3}\\{{y}_{0}=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=11}\\{{y}_{0}=-6}\end{array}\right.$。
步骤 5：写出圆的方程
因此，所求圆的方程为（x-3）^{2}+（y-2）^{2}=16或（x-11）^{2}+（y+6）^{2}=144。