题目
3.(3 分) 设随机变量 (X , Y ) 的方差 D( X )=4 , D(Y )=1 , 相关系数 ρXY=0.6 , 则方差 D( 3 X−2Y )= .A. 0；B. 34；C. 25.6；D. 17.6 .
3.(3 分) 设随机变量 (X , Y ) 的方差 D( X )=4 , D(Y )=1 , 相关系数 ρXY=0.6 , 则方差 D( 3 X−2Y )= .
A. 0；
B. 34；
C. 25.6；
D. 17.6 .
题目解答
答案
C. 25.6；
解析
步骤 1：计算协方差
根据相关系数的定义，协方差 Cov(X,Y) 可以通过相关系数 ρXY 和标准差 σX、σY 来计算。已知 D(X) = 4，D(Y) = 1，所以 σX = √4 = 2，σY = √1 = 1。相关系数 ρXY = 0.6，因此 Cov(X,Y) = ρXY * σX * σY = 0.6 * 2 * 1 = 1.2。
步骤 2：计算 D(3X - 2Y)
根据方差的性质，D(aX + bY) = a^2 * D(X) + b^2 * D(Y) + 2ab * Cov(X,Y)，其中 a = 3，b = -2。因此，D(3X - 2Y) = 3^2 * D(X) + (-2)^2 * D(Y) + 2 * 3 * (-2) * Cov(X,Y) = 9 * 4 + 4 * 1 - 12 * 1.2 = 36 + 4 - 14.4 = 25.6。
根据相关系数的定义，协方差 Cov(X,Y) 可以通过相关系数 ρXY 和标准差 σX、σY 来计算。已知 D(X) = 4，D(Y) = 1，所以 σX = √4 = 2，σY = √1 = 1。相关系数 ρXY = 0.6，因此 Cov(X,Y) = ρXY * σX * σY = 0.6 * 2 * 1 = 1.2。
步骤 2：计算 D(3X - 2Y)
根据方差的性质，D(aX + bY) = a^2 * D(X) + b^2 * D(Y) + 2ab * Cov(X,Y)，其中 a = 3，b = -2。因此，D(3X - 2Y) = 3^2 * D(X) + (-2)^2 * D(Y) + 2 * 3 * (-2) * Cov(X,Y) = 9 * 4 + 4 * 1 - 12 * 1.2 = 36 + 4 - 14.4 = 25.6。