211 (2020江苏)极限lim_(xto0)(xsin(2)/(x)+2^(sin x)/(x))的值为( ).A. 1B. 2C. 3D. 4

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及分段求极限、有界函数与无穷小量乘积的性质、等价无穷小替换以及指数函数的连续性。

解题核心思路：
将原式拆分为两个部分分别求极限，再相加结果。

1. 第一部分 $x \sin \frac{2}{x}$：利用有界函数与无穷小量乘积仍为无穷小的性质，直接得出极限为0。
2. 第二部分 $2^{\frac{\sin x}{x}}$：通过等价无穷小替换 $\sin x \sim x$ 化简指数，再结合指数函数的连续性求解。

破题关键点：

• 识别分段处理的可能性，避免直接合并计算。
• 正确应用等价无穷小替换 $\sin x \sim x$，简化指数部分。
• 注意指数函数的连续性，允许先求指数极限再代入计算。

将原极限拆分为两部分求解：

第一部分：$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{2}{x}$

1. 分析函数性质：

   • $\sin \frac{2}{x}$ 的取值范围为 $[-1, 1]$，即有界。
   • $x \to 0$，即无穷小量。
   • 有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小。

2. 结论：
   $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{2}{x} = 0.$

第二部分：$\lim_{x \to 0} 2^{\frac{\sin x}{x}}$

1. 化简指数部分：

   • 当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$（等价无穷小替换），因此：
     $\frac{\sin x}{x} \to \frac{x}{x} = 1.$

2. 代入指数函数：

   • 指数函数 $2^t$ 在 $t \to 1$ 时连续，故：
     $2^{\frac{\sin x}{x}} \to 2^1 = 2.$

3. 结论：
   $\lim_{x \to 0} 2^{\frac{\sin x}{x}} = 2.$

合并结果

将两部分的极限相加：
$0 + 2 = 2.$