题目
二(本题共15分)、设函数f(x)在 (-infty ,+infty ) 上具有二阶导数,并且-|||-''(x)gt 0, lim _(xarrow +infty )f'(x)=agt 0 , lim _(xarrow -infty )f'(x)=beta lt 0, 且存在一点x0,使得 ((x)_(0))lt 0.-|||-证明:方程 f(x)=0 在 (-infty ,+infty ) 恰有两个实根.
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明方程 f(x)=0 在 $(-\infty ,+\infty )$ 至少有两个实根。
由 $\lim _{x\rightarrow +\infty }f'(x)=a\gt 0$ ，必有一个充分大的 $a\gt {x}_{0}$ ，使得 $f'(a)\gt 0$。由于 $f''(x)\gt 0$，函数 $f(x)$ 是凹函数，从而 $f(x)\gt f(a)+f'(a)(x-a)\quad (x\gt a)$。当 $x\rightarrow +\infty $ 时，$f(+\infty )+f'(a)(x-a)\rightarrow +\infty $。故存在 $b\gt a$，使得 $f(b)\gt f(a)+f'(a)(b-a)\gt 0$。
同理，由 $\lim _{x\rightarrow -\infty }f'(x)=\beta \lt 0$，必有 $c\lt {x}_{0}$，使得 $f'(c)\lt 0$。由于 $f''(x)\gt 0$，函数 $f(x)$ 是凹函数，从而 $f(x)\gt f(c)+f'(c)(x-c)\quad (x\lt c)$。当 $x\rightarrow -\infty $ 时，$f(-\infty )+f'(c)(x-c)\rightarrow +\infty $。故存在 $d\lt c$，使得 $f(d)\gt f(c)+f'(c)(d-c)\gt 0$。
在区间 $[x_0, b]$ 和 $[d, x_0]$ 上利用零点定理，存在 ${x}_{1}\in ({x}_{0},b)$ 和 ${x}_{2}\in (d,{x}_{0})$，使得 $f({x}_{1})=f({x}_{2})=0$。
步骤 2：证明方程 f(x)=0 在 $(-\infty ,+\infty )$ 只有两个实根。
用反证法。假设方程 f(x)=0 在 $(-\infty ,+\infty )$ 内有三个实根，不妨设为 $x_1, x_2, x_3$，且 ${x}_{1}\lt {x}_{2}\lt {x}_{3}$。对 $f(x)$ 在区间 $[x_1, x_2]$ 和 $[x_2, x_3]$ 上分别应用罗尔定理，则各至少存在一点 ${\xi }_{1}({x}_{1}\lt {\xi }_{1}\lt {x}_{2})$ 和 ${\xi }_{2}({x}_{2}\lt {\xi }_{2}\lt {x}_{3})$，使得 $f'({\xi }_{1})=f'({\xi }_{2})=0$。再将 $f'(x)$ 在区间 $[{\xi }_{1}, {\xi }_{2}]$ 上使用罗尔定理，则至少存在一点 $\eta ({\xi }_{1}\lt \eta \lt {\xi }_{2})$，使得 $f''(\eta )=0$。此与条件 $f''(x)\gt 0$ 矛盾。从而方程 f(x)=0 在 $(-\infty ,+\infty )$ 不能多于两个根。
由 $\lim _{x\rightarrow +\infty }f'(x)=a\gt 0$ ，必有一个充分大的 $a\gt {x}_{0}$ ，使得 $f'(a)\gt 0$。由于 $f''(x)\gt 0$，函数 $f(x)$ 是凹函数，从而 $f(x)\gt f(a)+f'(a)(x-a)\quad (x\gt a)$。当 $x\rightarrow +\infty $ 时，$f(+\infty )+f'(a)(x-a)\rightarrow +\infty $。故存在 $b\gt a$，使得 $f(b)\gt f(a)+f'(a)(b-a)\gt 0$。
同理，由 $\lim _{x\rightarrow -\infty }f'(x)=\beta \lt 0$，必有 $c\lt {x}_{0}$，使得 $f'(c)\lt 0$。由于 $f''(x)\gt 0$，函数 $f(x)$ 是凹函数，从而 $f(x)\gt f(c)+f'(c)(x-c)\quad (x\lt c)$。当 $x\rightarrow -\infty $ 时，$f(-\infty )+f'(c)(x-c)\rightarrow +\infty $。故存在 $d\lt c$，使得 $f(d)\gt f(c)+f'(c)(d-c)\gt 0$。
在区间 $[x_0, b]$ 和 $[d, x_0]$ 上利用零点定理，存在 ${x}_{1}\in ({x}_{0},b)$ 和 ${x}_{2}\in (d,{x}_{0})$，使得 $f({x}_{1})=f({x}_{2})=0$。
步骤 2：证明方程 f(x)=0 在 $(-\infty ,+\infty )$ 只有两个实根。
用反证法。假设方程 f(x)=0 在 $(-\infty ,+\infty )$ 内有三个实根，不妨设为 $x_1, x_2, x_3$，且 ${x}_{1}\lt {x}_{2}\lt {x}_{3}$。对 $f(x)$ 在区间 $[x_1, x_2]$ 和 $[x_2, x_3]$ 上分别应用罗尔定理，则各至少存在一点 ${\xi }_{1}({x}_{1}\lt {\xi }_{1}\lt {x}_{2})$ 和 ${\xi }_{2}({x}_{2}\lt {\xi }_{2}\lt {x}_{3})$，使得 $f'({\xi }_{1})=f'({\xi }_{2})=0$。再将 $f'(x)$ 在区间 $[{\xi }_{1}, {\xi }_{2}]$ 上使用罗尔定理，则至少存在一点 $\eta ({\xi }_{1}\lt \eta \lt {\xi }_{2})$，使得 $f''(\eta )=0$。此与条件 $f''(x)\gt 0$ 矛盾。从而方程 f(x)=0 在 $(-\infty ,+\infty )$ 不能多于两个根。