题目

5. 若曲线y=x^3+ax^2+bx+1有拐点(-1,0)，则常数b=_____.

5. 若曲线$y=x^{3}+ax^{2}+bx+1$有拐点(-1,0)，则常数b=_____.

题目解答

答案

根据题意，曲线 $y = x^3 + ax^2 + bx + 1$ 在点 $(-1, 0)$ 处有拐点，需满足以下条件：

  1. 二阶导数为零：
    $y'' = 6x + 2a$，代入 $x = -1$ 得 $y''(-1) = -6 + 2a = 0$，解得 $a = 3$。

  2. 点在曲线上：
    将 $x = -1$，$y = 0$，$a = 3$ 代入原方程：
    $0 = (-1)^3 + 3(-1)^2 + b(-1) + 1 = -1 + 3 - b + 1$
    化简得 $3 - b = 0$，解得 $b = 3$。

答案：$\boxed{3}$