题目
10、设总体Xsim N(mu,0.9^2)，X_(1),X_(2),...,X_(9)为X的简单随机样本，样本均值overline(x)=5，则mu的置信度为0.95的置信区间为_(4.412,5.588)_(z_(0.025)=1.96)
10、设总体$X\sim N(\mu,0.9^{2})$，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{9}$为X的简单随机样本，样本均值$\overline{x}=5$，则$\mu$的置信度为0.95的置信区间为_(4.412,5.588)_(z_{0.025}=1.96)
题目解答
答案
已知样本均值 $\overline{x} = 5$，总体标准差 $\sigma = 0.9$，样本容量 $n = 9$，置信度为 0.95，对应双侧分位数 $z_{0.025} = 1.96$。 计算标准误： \[ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0.9}{3} = 0.3 \] 置信区间半径： \[ z_{0.025} \times 0.3 = 1.96 \times 0.3 = 0.588 \] 置信区间： \[ \overline{x} \pm 0.588 = (5 - 0.588, 5 + 0.588) = (4.412, 5.588) \] 答案：$\boxed{(4.412, 5.588)}$
解析
本题考查正态总体均值在方差已知情况下的置信区间的计算。解题思路如下：
- 明确已知条件：总体$X\sim N(\mu,0.9^{2})$，说明总体服从正态分布，且总体标准差$\sigma = 0.9$；样本容量$n = 9$；样本均值$\overline{x}=5$；置信度为$0.95$，对应的双侧分位数$z_{0.025}=1.96$。
- 计算标准误：标准误是样本均值的标准差，计算公式为$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
- 将$\sigma = 0.9$，$n = 9$代入公式可得：$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0.9}{\sqrt{9}}=\frac{0.9}{3}=0.3$。
- 计算置信区间半径：置信区间半径等于双侧分位数乘以标准误，即$z_{0.025}\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
- 把$z_{0.025}=1.96$，$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 0.3$代入可得：$z_{0.025}\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1.96\times0.3 = 0.588$。
- 计算置信区间：总体均值$\mu$的置信度为$0.95$的置信区间为$\overline{x}\pm z_{0.025}\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
- 已知$\overline{x}=5$，$z_{0.025}\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 0.588$，则置信区间为$\overline{x}\pm0.588=(5 - 0.588, 5 + 0.588)=(4.412, 5.588)$。