题目
某保险公司经多年的资料统计表明,在索赔户中被盗索赔户占20%,在随意抽查的100家索赔户中被盗的索赔户数为随机变量。(1)写出的概率分布;(2)利用棣莫佛—拉普拉斯定理,求被盗的索赔户数不少于14户且不多于30户的概率的近似值。附表:
某保险公司经多年的资料统计表明,在索赔户中被盗索赔户占20%,在随意抽查的100家索赔户中被盗的索赔户数为随机变量
。
(1)写出的概率分布;
(2)利用棣莫佛—拉普拉斯定理,求被盗的索赔户数不少于14户且不多于30户的概率的近似值。
附表:
题目解答
答案
解:(1)据题意,可知100家索赔户中被盗的索赔户数服从二项分布,其参数
,即
,且
,
(2)由
,
得
解析
步骤 1：确定随机变量的概率分布
根据题意，100家索赔户中被盗的索赔户数服从二项分布，其参数为n=100，p=0.2。因此，随机变量X的概率分布为$X\sim B(100,0.2)$，且$P(X=k)={C}_{100}^{k}\times {0.2}^{k}\times {0.8}^{100-k}$，$k=1,2,\cdots ,100$。
步骤 2：利用棣莫佛—拉普拉斯定理求概率的近似值
根据棣莫佛—拉普拉斯定理，当n足够大时，二项分布可以近似为正态分布。对于$X\sim B(100,0.2)$，其均值$\mu=np=100\times 0.2=20$，方差$\sigma^2=np(1-p)=100\times 0.2\times 0.8=16$，标准差$\sigma=\sqrt{16}=4$。因此，$X$近似服从$N(20,16)$。
为了求被盗的索赔户数不少于14户且不多于30户的概率，即求$P(14\leqslant X\leqslant 30)$。利用正态分布的性质，可以将这个概率转化为标准正态分布的概率，即$P(-1.5\leqslant \dfrac {X-20}{4}\leqslant 2.5)$。根据附表，$\phi(2.5)=0.994$，$\phi(1.5)=0.933$，因此$P(-1.5\leqslant \dfrac {X-20}{4}\leqslant 2.5)=\phi(2.5)+\phi(1.5)-1=0.994+0.933-1=0.927$。
根据题意，100家索赔户中被盗的索赔户数服从二项分布，其参数为n=100，p=0.2。因此，随机变量X的概率分布为$X\sim B(100,0.2)$，且$P(X=k)={C}_{100}^{k}\times {0.2}^{k}\times {0.8}^{100-k}$，$k=1,2,\cdots ,100$。
步骤 2：利用棣莫佛—拉普拉斯定理求概率的近似值
根据棣莫佛—拉普拉斯定理，当n足够大时，二项分布可以近似为正态分布。对于$X\sim B(100,0.2)$，其均值$\mu=np=100\times 0.2=20$，方差$\sigma^2=np(1-p)=100\times 0.2\times 0.8=16$，标准差$\sigma=\sqrt{16}=4$。因此，$X$近似服从$N(20,16)$。
为了求被盗的索赔户数不少于14户且不多于30户的概率，即求$P(14\leqslant X\leqslant 30)$。利用正态分布的性质，可以将这个概率转化为标准正态分布的概率，即$P(-1.5\leqslant \dfrac {X-20}{4}\leqslant 2.5)$。根据附表，$\phi(2.5)=0.994$，$\phi(1.5)=0.933$，因此$P(-1.5\leqslant \dfrac {X-20}{4}\leqslant 2.5)=\phi(2.5)+\phi(1.5)-1=0.994+0.933-1=0.927$。