题目
设随机变量X与Y相互独立，则下列结论必然成立的有() A. P(X=Y)=1B. P(Xneq Y)=1C. 当X与Y相关D. 当X与Y不相关
设随机变量$X$与$Y$相互独立，则下列结论必然成立的有()
- A. $P(X=Y)=1$
- B. $P(X\neq Y)=1$
- C. 当$X$与$Y$相关
- D. 当$X$与$Y$不相关
题目解答
答案
随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立时，其联合概率等于各自概率的乘积，即 $P(X, Y) = P(X)P(Y)$。
- **选项A**：$P(X = Y) = 1$ 表示 $X$ 和 $Y$ 总相等，但独立性不保证这一点，排除。
- **选项B**：$P(X \neq Y) = 1$ 表示 $X$ 和 $Y$ 总不相等，同样不成立，排除。
- **选项C**：独立变量协方差为零，即不相关，故错误。
- **选项D**：独立变量协方差为零，即不相关，符合题意。
**答案：D**
\[
\boxed{D}
\]
解析
步骤 1：理解随机变量独立性
随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，意味着它们的联合概率分布等于各自概率分布的乘积，即 $P(X, Y) = P(X)P(Y)$。这表明 $X$ 的取值不会影响 $Y$ 的取值，反之亦然。
步骤 2：分析选项A
选项A：$P(X = Y) = 1$ 表示 $X$ 和 $Y$ 总是相等。然而，独立性并不保证这一点，因为独立性只说明 $X$ 和 $Y$ 的取值互不影响，但并不意味着它们总是相等。因此，选项A不成立。
步骤 3：分析选项B
选项B：$P(X \neq Y) = 1$ 表示 $X$ 和 $Y$ 总是不相等。同样，独立性并不保证这一点，因为独立性只说明 $X$ 和 $Y$ 的取值互不影响，但并不意味着它们总是不相等。因此，选项B不成立。
步骤 4：分析选项C
选项C：当 $X$ 与 $Y$ 相关。独立变量的协方差为零，即不相关。因此，选项C不成立。
步骤 5：分析选项D
选项D：当 $X$ 与 $Y$ 不相关。独立变量的协方差为零，即不相关。因此，选项D成立。
随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，意味着它们的联合概率分布等于各自概率分布的乘积，即 $P(X, Y) = P(X)P(Y)$。这表明 $X$ 的取值不会影响 $Y$ 的取值，反之亦然。
步骤 2：分析选项A
选项A：$P(X = Y) = 1$ 表示 $X$ 和 $Y$ 总是相等。然而，独立性并不保证这一点，因为独立性只说明 $X$ 和 $Y$ 的取值互不影响，但并不意味着它们总是相等。因此，选项A不成立。
步骤 3：分析选项B
选项B：$P(X \neq Y) = 1$ 表示 $X$ 和 $Y$ 总是不相等。同样，独立性并不保证这一点，因为独立性只说明 $X$ 和 $Y$ 的取值互不影响，但并不意味着它们总是不相等。因此，选项B不成立。
步骤 4：分析选项C
选项C：当 $X$ 与 $Y$ 相关。独立变量的协方差为零，即不相关。因此，选项C不成立。
步骤 5：分析选项D
选项D：当 $X$ 与 $Y$ 不相关。独立变量的协方差为零，即不相关。因此，选项D成立。