(14分)用能量为12.5电子伏特的电子去激发基态氢原子,问受激发的氢原子向低能级跃迁时,会出现那些波长的光谱线?

考查要点：本题主要考查氢原子能级跃迁与光谱线的关系，涉及能量跃迁条件及里德伯公式的应用。

解题核心思路：

1. 确定可激发的能级：根据电子能量（12.5 eV），计算基态氢原子能被激发到哪些能级（n=2、3、4等），需满足激发能量不超过电子能量。
2. 分析可能的跃迁路径：激发后的氢原子向低能级跃迁时，所有可能的能级组合均会产生光谱线。
3. 计算光谱线波长：利用里德伯公式，结合能级差计算各跃迁对应的波长。

破题关键点：

• 激发能级的判断：通过氢原子能级公式 $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, \text{eV}$，计算不同能级间的能量差，筛选出电子能量可覆盖的能级。
• 跃迁路径的穷举：确保所有可能的向下跃迁均被考虑，避免遗漏光谱线。

确定可激发的能级

氢原子基态能量为 $E_1 = -13.6 \, \text{eV}$。激发到能级 $n$ 所需能量为：
$E = 13.6 \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right) \, \text{eV}$
代入 $n=2,3,4$：

• $n=2$：$E_2 = 13.6 \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = 10.2 \, \text{eV}$（可激发）
• $n=3$：$E_3 = 13.6 \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = 12.1 \, \text{eV}$（可激发）
• $n=4$：$E_4 = 13.6 \left( 1 - \frac{1}{16} \right) = 12.8 \, \text{eV}$（超过12.5 eV，不可激发）

结论：氢原子最多被激发到 $n=3$ 能级。

分析跃迁路径

从 $n=3$ 和 $n=2$ 向低能级跃迁，可能的路径为：

1. $n=3 \to n=2$
2. $n=3 \to n=1$
3. $n=2 \to n=1$

计算光谱线波长

根据里德伯公式 $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2} \right)$（$n > m$），代入 $R_H = 1.097 \times 10^7 \, \text{m}^{-1}$：

1. $n=3 \to n=2$：
   $\frac{1}{\lambda_1} = R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = \frac{5}{36} R_H \implies \lambda_1 = \frac{36}{5 R_H} \approx 6565 \, \text{Å}$
2. $n=3 \to n=1$：
   $\frac{1}{\lambda_3} = R_H \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = \frac{8}{9} R_H \implies \lambda_3 = \frac{9}{8 R_H} \approx 1025 \, \text{Å}$
3. $n=2 \to n=1$：
   $\frac{1}{\lambda_2} = R_H \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = \frac{3}{4} R_H \implies \lambda_2 = \frac{4}{3 R_H} \approx 1215 \, \text{Å}$