设随机变量 X 的概率密度为 f(x)=}k(1-x^2), & -1< x< 1 0, & (其他)，则 k 的值为 A. .A. (3)/(4)B. (1)/(2)C. (2)/(3)D. (2)/(3)

考查要点：本题主要考查概率密度函数的性质，即概率密度函数在整个定义域上的积分等于1。需要根据这一性质求解未知参数$k$的值。

解题核心思路：

1. 概率密度函数的归一化条件：$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$。
2. 根据题目中$f(x)$的分段形式，积分只需计算区间$(-1, 1)$内的部分。
3. 通过积分方程求解$k$的值。

破题关键点：

• 正确写出积分表达式并计算定积分，注意被积函数的对称性可简化计算。

根据概率密度函数的归一化条件，有：
$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1.$
由于$f(x)$在区间$(-1, 1)$外为0，积分简化为：
$\int_{-1}^{1} k(1 - x^2) \, dx = 1.$

步骤1：提取常数$k$
将$k$提出积分号外：
$k \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx = 1.$

步骤2：计算定积分
分别计算$\int_{-1}^{1} 1 \, dx$和$\int_{-1}^{1} x^2 \, dx$：

1. $\int_{-1}^{1} 1 \, dx = 2$（区间长度为2）。
2. $\int_{-1}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{1}{3} - \left( \frac{-1}{3} \right) = \frac{2}{3}$。

因此：
$\int_{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}.$

步骤3：解方程求$k$
代入归一化条件：
$k \cdot \frac{4}{3} = 1 \implies k = \frac{3}{4}.$